Fudan概率论与数理统计精品课件gll04章节.ppt

* 第二章 随机变量及其分布 §1 随机变量的概念 随机事件可以采取数量的标识。如： 抽样检查产品时废品的个数。 掷骰子出现的点数。 对没有数量标识的事件，可以人为加上数量标志。如 产品为优质品记为1，次品记为2，废品记为3。 天气下雨记为1，不下雨记为0。 例如： (1)射击击中目标记为1分，未中目标记0分。用ξ表示 射击的得分，它是随机变量，可取0和1两个值。 (2)抛一枚硬币， ξ表示正面出现的次数，它是随机变 量，可取0和1两个值。 (3)某段时间内候车室旅客数目记为ξ ，它可取0及一切 不大于最大容量M的自然数。 (4)一块土地上农作物的产量ξ是随机变量，它可以取区 间[0，T]的一切值。 (5)沿数轴运动的质点，它的位置ξ是随机变量，可以取 任何实数，即ξ (-∞,+∞) 随机变量按取值情况分为两类： (1)离散型随机变量 只可能取有限个或无限可列个值。 (2)非离散型随机变量 可以在整个数轴上取值，或至少有一部分值取某实 数区间的全部值。 非离散型随机变量中最常用的是连续型随机变量。 即取值于一个连续区间全部数值的随机变量。 以后，只研究离散型与连续型随机变量。 定义2 若ξ是一个随机变量，对任何实数x，令 F(x)=P(ξ ≤x) 称为F(x)是随机变量ξ的分布函数。 对任意实数ab,有 P(a ξ ≤b)=P(ξ ≤b)-P(ξ ≤a) =F(b)-F(a) 分布函数完整地描述了随机变量的变化情况。 注意 P(a≤ ξ ≤b)=P(ξ =a)+P(a ξ ≤b) =P(ξ =a)+F(b)-F(a) P(a ξ b)=P(a ξ ≤b)-P(ξ =b) =F(b)-F(a)-P(ξ =b) 分布函数具有如下的性质： F(x)是概率，取值在0与1之间 (2)F(x)是x的不减函数。 ξ ≤x所含基本事件个数不会随x增大而减少 (4)F(x)至多有可列个间断点， 在其间断点上右连续。 §2 随机变量的分布 (一)离散型随机变量的分布 定义1 如果随机变量ξ只取有限个或可列个可能值， 而且以确定的概率取这些不同的值，则称ξ为离散 型随机变量。 一般列成概率分布表： 也可写成 P(ξ =xk)=Pk (k=1,2,…) 称之为概率函数。 ξ ＝x1, ξ =x2,…, ξ =xk,…构成完备事件组。 离散型随机变量的分布是指概率分布表或概率函数。 性质： Pk≥0,k=1,2,… 例1 一批产品的废品率为5％，从中任意抽取一个进行 检验，用随机变量描述废品出现的情况。 解：用ξ表示废品的个数。 ξ ＝1表示产品的废品， ξ ＝0表示产品的合格品。 或P(ξ =k)=(0.05)k(0.95)1-k, (k=0,1) 分布函数的图形： x 0 1 0.95 1 称为两点分布 称为0-1分布 例2 产品有一、二、三等品及废品4种，其一、二、三 等品率和废品率分别为60％，10％，20％，10％，任 取一个产品检验其质量，用随机变量ξ描述检验结果。 解：用ξ ＝k表示产品为k等品，k＝1，2，3 ξ ＝4表示产品为废品 概率分布表为 0.1 1 2 3 4 0 1 p 1 2 3 4 0.1 0.6 1 例3 用随机变量描述掷骰子的试验情况。 解：令ξ表示掷一颗骰子出现的点数。 其分布函数为 其图形为 离散型随机变量的分布函数图形是阶梯曲线。 在ξ的取正概率的点xk处有跳跃，跃度为概率pk 在任一连续点x上， ξ取值x的概率都是零。 1 0 1 2 3 4 5 6 解：在跳跃点的跃度就是概率。 故概率分布表为 解：概率之和应为1 1＝2a+3a+a+2a+a+a =10a 故 a=0.1 概率表应为 =0.8 =0.6 这种随机变量称为几何分布。 例7 盒内装有外形与功率均相同的15个灯泡，其中 10个螺口，5个卡口，灯口向下放着。现在需要1个 螺口灯泡，从盒中任取一个，如果取到卡口灯泡就 不再放回去。求在取到螺口灯泡之前已取出的卡口 灯泡数的ξ分布。 解： ξ ＝0表示第一个就取到了螺口灯泡。 ξ ＝1表示第一个取到卡口，第二个才取到螺口灯泡。 故ξ的分布为 若本题改为取到卡口再放回去。则每次取灯泡时 的情况完全相同。 ξ ＝k表示前k次取到卡口灯泡，第k＋1次取到螺口 灯泡。 k＝0，1，2，… 例8 一袋中装有编号为1，2，3，4，5的五个小球，任取 3个，用ξ表示球上的最大号码，求ξ的分布。 解： ξ至少为3 故ξ的概率分布为 (二)连续型随机变量的分布 例9 在区间[4，10]上任意抛掷一个质点，用ξ表示这个 质点与原点的距离，则ξ是一个随机变量。若这个质点 落在[4,10]上任一子区内的概率与这个区间长度成正比， 求ξ的分布函数。 图形为 F(x) 1 x 4 10 ξ取任何一个具体值的概率都是零。 *