05006《近世代数》课程教学大纲.doc

《近世代数》课程教学大纲 课程编号：05006 课程英文名称：Modern Algebra 学时数：72 学分数：3.5 适应层次和专业：数学与应用数学本科专业 一、课程的性质和目的 《近世代数》Abstract Algebra），是数学本科的一门重要专业基础课也是学习代数数论、代数几何、代数拓扑等基础数学课程及计算代数、编码等应用数学课程所必需的一门基础课《近世代数》的基本概念、理论和方法是每一个数学工作者所必需具备的基本数学素养之一理解和掌握《近世代数》的基本内容、理论和方法对于学生加深理解数学的基本思想和方法培养抽象思维能力和逻辑推理能力提高数学修养都具有重要意义课程设置的目的使学生对抽象代数的思想和方法有较深刻的认识提高抽象思维、逻辑推理和运算的能力使学生获得一定的抽象代数的基础知识受到代数方法的初步训练为进一步学习代数后继课程打下基础使学生能应用抽象代数的知识与方法去理解与处理有关的问题培养与提高应用抽象代数的理论分析问题与解决问题的能力次置换 第三节 代数运算 主要知识点：代数运算、二元运算 第四节 运算律 主要知识点：结合律、交换律、左分配律、右分配律、结合律的性质、交换律的性质、分配律的性质 第五节 同态与同构 主要知识点：同态映射、同态满射、同态、同构映射、自同态、自同构 第六节 等价关系与集合的分类 主要知识点：关系、等价关系、集合分类、同余关系、模的剩余类、等价关系与集合分类的关系 第二章、群（20学时）第一节 群的定义和初步性质 主要知识点：群、群的阶、交换群、有限群、无限群、幺半群、加群、群的简单性质、几种常见的具体的群（非零有理数乘群、正有理数乘群、一般线性群、次单位根群、四元数群、整数加群等） 第二节 群中元素的阶 主要知识点：元素阶的定义及性质、周期群、无扭群、混合群、交换群中元素阶的性质 第三节 子群 主要知识点：子群、平凡子群、非平凡子群、子群的判定方法、特殊线性群、中心元素、无中心群、中心 第四节 循环群 主要知识点：生成系、生成元、循循 主要知识点：环的定义及简单性质、交换环、非交换环、有限环、无限环、左（右）单位元、环中元素的运算规则、子环、循环环 第二节 环的零因子和特征 主要知识点：零因子、无零因子环及其性质、整环、特征及其性质 第三节 除环和域 主要知识点：除环、域的定义及性质、子域、域中元素的运算法则 第四节 环的同态与同构 主要知识点：环同态、同构的定义及简单性质、环的自同构 第五节 模剩余类环 主要知识点：模剩余类环的定义及性质、循环环的性质 第六节 理想 主要知识点：理想的定义及简单性质、平凡理想、非平凡理想、单环、由元素生成的理想及性质 第七节 商环与环同态基本定理 主要知识点：陪集的乘法、环同态基本定理（环第一同构定理）、环第二同构定理、环第三同构定理 第八节 素理想和极大理想 主要知识点：素理想定义及性质、极大理想定义及性质 第九节 环与域上的多项式环 主要知识点：环上未定元的多项式环及简单判定 三、课程教学基本要求 近世代数课程的基本要求是：掌握运算律描写代数运算并从它出发推导其它性质的能力：学会把这种能力熟练地运用于中等及高等学校数学课程所涉及的一些最重要的代数系统；深刻领会这些代数系统的本质特征及它们之间的联系；由此来统率中学数学教材中的代数部分。 具体地说就是通过本课程的学习，要求学生熟练掌握群、环、域的定义及其简单性质，子群、正规子群、子环、理想的概念与判别；掌握循环群的基本性质，Lagrange定理，极大理想与素理想、商群、商环、商域等概念，群、环同态的基本定理与性质；理解代数运算、等价关系等概念，凯莱定理的作用，同态基本定理对群、环的结构研究的重要意义；了解商域的构造与最小性，群对集合的作用，Sylow定理，同构、同态在群、环、域研究中的重要作用。 四、本课程与其它课程的关系 本课程是现代数学的一个十分重要组成部分，与其它数学课程有着密切联系。初等代数是研究数集上的运算，高等代数把数集扩展为向量空间、矩阵集与多项式集。抽象代数则以一般集合上的运算作为研究对象。因此，初等代数、高等代数是学习本课程的基础。由于Lie群、Lie代数的出现，使得几何与代数再次结合，给代数学带来了强大的发展动力，拓扑学因为有了抽象代数而得到突飞猛进的发展。本课程的基本知识和思想方法是学习近世代数选讲以及点集拓扑学的基础。 五、学时分配表 章 学 时 分 配 合计 讲课 习题课 实验课 上机课 讨论课 其他 1 12 2 14 2 14 6 20 3 12 4 16 4 16 6 22 六、成绩考核方式 本课程的主要特点是抽象程度