10第十章 数论之完全平方数.docx

第十章数论之完全平方数概念在整数中，如果a=b2，则称a为完全平方数。【相关公式】 a2-b2=（a+b）（a-b）（a±b）2=a2±2ab+b2 12+22+32+，，+n2=n（n+1）（2n+1）÷6【解题思路及方法】运用完全平方数的性质来解题，如：（1）完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9；（2）在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数；（3）完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数；（4）若质数p满足p | 2，那么p | a 。例题1. 在十进制中，各位数字全由奇数组成的完全平方数共有多少个？2. 下列四个数中：513231 121826 122530 625681有多少个完全平方数。3.证明：形如11，111，1111，11111，…的数中没有完全平方数。4. 证明39个5和4个0组成的数，不可能是完全平方数。5. 一个自然数X加上60,为一完全平方数。如果加上43, 则为另一完全平方数，求X。6. 一个自然数X减去45及加上44都仍是完全平方数，求此X。7. 求一个能被180整除的最小完全平方数X。8. 一个两位数与它的反序数(个位数字与十位数字交换)的和，是一个完全平方数，求这样的两位数。9. 若自然数X2是一个完全平方数，则下一个完全平方数是多少？10. 判断600，1234567，2209，333331哪些是完全平方数，如果不是请说明理由。11. 两个数x、y，它们的完全平方数之差A=1986，问这两个数是什么？12. 两个完全平方数之差为147，问这两个数是什么？13. 有这样的两位数，交换该数数码，所得到的两位数与原数的和是一个完全平方数。例如：29就是这样的两位数，29+92=121，而121是11的完全平方数。14. 求一个四位完全平方数n，并且它的前两位数字相同，后两位数字也相同。15. 自然数N是一个两位数，它是一个完全平方数，且N的个位数字与十位数字也都是完全平方数，这样的自然数有几个。16. 一个三位数abc，是个完全平方数，它的前两位数ab和个位c也都是完17. 将自然数的平方数从小到大依次排列成一串有序数列：1491625364 9 6481100 …第11位上的数字是9，第88位上的数字是多少。18. 一个数与2940的积是完全平方数，那么这个数最小是多少。19. 有两个两位数，它们的差是56，它们的平方数末两位数字相同，这两个两位数分别是什么？20. 祖孙三人，孙子和爷爷的年龄的乘积是1512，而爷爷、父亲、孙子三人的年龄之积是完全平方数，则父亲的年龄是多少岁。21. 快乐小学为庆祝“六一”儿童节排练学生团体操，团体操要求全体参加排练的学生恰好能排成一个正方形队列，也能变成一个三角形队列。参加排练的学生至少要有多少人。22. 两个自然数A、B的平方和637，最大公约数M 与最小公倍数G的和49。求A、B。23. n是正整数，3n+1是完全平方数，证明：n+l是3个完全平方数之和．24. 己知Z=169是3n+1型的完全平方数。反算：N+1是哪3个完全平方数之和。25. 己知Z=29929是3n+1型的完全平方数，反算：N+1是哪3个完全平方数之和．26. 证明：每四个连续自然数的积加1，必定是一个完全平方数27. 两个奇数的平方和一定不是完全平方数。如32+52=34≠y2 、92+152=306≠y2 等等28. 证明：两个质数的平方和一定不是完全平方数29. （真题）若某整数为完全平方数，且末四位数字相同，求这种整数。30. 从360到630的自然数中，有奇数个因数的数有哪些？有且仅有三个因数的数有哪些？31. 证明：不存在一个平方数的2倍，等于另一个平方数。即2n2≠m232. 1016与正整数a的乘积是一个完全平方数，则a的最小值是多少。33. 已知1234567654321×19是一个完全平方数，求它是谁的平方。34. 已知自然数n满足：12！除以n得到一个完全平方数，则n的最小值为多少。35. 下面是一个算式：1+2×1+3×2×1+……+20×19×18×……×2×1，这个算式的得数是否是某个数的平方？如果是，写出是谁的平方，如果不是请说明理由。36. 由5个1和5个6和3个5组成的13位数中，有没有平方数。如果有，写出是谁的平方，如果没有请说明理由。37. 从3601到5000的自然数中，有奇数个因数的数有哪些？有且仅有三个因数的数有哪些？38. 1016与正整数a的乘积是一个完全平方数,则a的最小值是多少?39. 把1—50这50个数的平方数从小到大排成一个多位数149162536……,请问这个多位数共有多少位数字。40. 写出60到150之间存在哪些平方数，他们是谁的平方？41. 请估算230