1131角平分线的性质.ppt

人教版八年级数学(上) 11.3.1角平分线的性质（1） A D B C E 自学提纲 1.角平分仪为什么能平分一个角？ P19 2.如何画一个角的平分线？P19 4.角的平分线的性质是什么？如何证明？用几何符号如何表示？P20 6.课本中利用角平分线的性质解决了一个什么实际问题？P21 3.如何通过作一个平角的平分线得到直线的垂线？P19练习 5.证明一个几何命题的步骤是什么？P21 不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法？ A O B C 活 动 1 再打开纸片 ，看看折痕与这个角有何关系？ （对折） 1、如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=DC。 将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线，你能说明它的道理吗? 活 动 2 A D B C E 如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？ 2、证明： 在△ACD和△ACB中 AD=AB（已知） DC=BC（已知） CA=CA（公共边） ∴ △ACD≌ △ACB（SSS） ∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的 对应边相等） ∴AC平分∠DAB（角平分线的定义） A D B C E 根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器） O A B C E 活 动 3 N O M C E N M 已知： ∠ＡＯＢ(如图) 求作： ∠ＡＯＢ的角平分线OC. 在△OMC和△ONC中 　　　OM=ON 　　　MC=NC 　　　OC=OC ∵△OMC≌△ONC(SSS) ∴∠AOC=∠BOC 即:OC 是∠ＡＯＢ的角平分线. 1、以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N。 2、分别以M、N为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点C。 3、作射线OC，射线OC即为所求。 作法： A B O C N M 证明:连结MC,NC由作法知: 1〉平分平角∠AOB 2〉通过上面的步骤，得到射线OC以后，把它反向延长得到直线CD，直线CD与直线AB是什么关系？ 3〉结论：作平角的平分线即可平分平角，由此也得到过直线上一点作这条直线的垂线的方法。 活 动 4 A B O C D 探究角平分线的性质 (1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？ 活 动 5 (2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 证明：∵OC平分∠ AOB （已知） ∴ ∠1= ∠2（角平分线的定义） ∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB（已知） ∴ ∠PDO= ∠PEO（垂直的定义） 在△PDO和△PEO中 ∠PDO= ∠PEO（已证） ∠1= ∠2 （已证） OP=OP （公共边） ∴ △PDO ≌ △PEO（AAS） ∴PD=PE（全等三角形的对应边相等） P A O B C E D 1 2 已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E 求证: PD=PE 探究角平分线的性质 活 动 5 (3)验证猜想 角平分线上的点到角两边的距离相等。 (4)得到角平分线的性质： 活 动 5 利用此性质怎样书写推理过程?(几何符号语言） ∵ ∠1= ∠2, PD ⊥ OA， PE ⊥ OB（已知） ∴PD=PE（全等三角形的对应边相等） P A O B C E D 1 2 角平分线的性质 定理：在角平分线上的点到角的两边的距离相等 用符号语言表示为： A O B P E D 1 2 ∵∠1= ∠2,PD ⊥OA ，PE ⊥OB ∴PD=PE. 题设：一个点在一个角的平分线上 结论：它到角的两边的距离相等 思考： 要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处５００米，应建在何处？（比例尺 1：20 000） s Ｏ 公路 铁路 解：  作夹角的角平分线OC，截取 OD=2.5cm ,D即为所求。 D