113导数的几何意义(新.ppt

1.1.3导数的几何意义 回顾 ①平均变化率 函数y=f(x)的定义域为D,x1.x2∈D,f(x)从x1到x2平均变化率为: ②割线的斜率 O A B x y Y=f(x) x1 x2 f(x1) f(x2) x2-x1=△x f(x2)-f(x1)=△y 回顾 以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限， 从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. 从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是: 我们称它为函数y=f(x) 在x=x0处的导数，记作f′ (x0)或y′|x→x0即 由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是: 在不致发生混淆时，导函数也简称导数． 函数导函数 由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当时,f’(x0) 是一个确定的数.那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.即: 下面来看导数的几何意义: β y=f(x) P Q M Δx Δy O x y β P y=f(x) Q M Δx Δy O x y 如图,曲线C是函数y=f(x) 的图象,P(x0,y0)是曲线C上的 任意一点,Q(x0+Δx,y0+Δy) 为P邻近一点,PQ为C的割线, PM//x轴,QM//y轴,β为PQ的 倾斜角. 斜率! P Q o x y y=f(x) 割线 切线 T 请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P逐渐转动的情况. 我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PQ有一个确定位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线. 设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率. 即: 这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数. 导数的几何意义 函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线 y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率. 即: 故曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线方程是: 例2.求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程. Q P y = x 2 +1 x y - 1 1 1 O j M D y D x 因此,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x. （1）求出函数在点x0处的变化率 ， 得到曲线在点(x0,f(x0))的切线的斜率。 （2）根据直线方程的点斜式写出切线方程， 即 求切线方程的步骤： 练习:如图已知曲线 ,求: (1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程. y x -2 -1 1 2 -2 -1 1 2 3 4 O P 即点P处的切线的斜率等于4. (2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0. 例4.求曲线y=f(x)=x2+1过点P(2,1) 的切线方程. （1）求出函数在点x0处的变化率 ，得到曲线 在点(x0,f(x0))的切线的斜率。 （2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即 求切线方程的步骤： 小结: 无限逼近的极限思想是建立导数概念、用导数定义求 函数的导数的基本思想，丢掉极限思想就无法理解导 数概念。