13 二次函数的性质.ppt

函数 y=ax2+bx+c基本性质回顾 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像是一条抛物线， x y 0 2 -2 -2 2 -4 y x 0 2 4 6 -2 2 -4 4 y=2x2－4x－6 y=0.75x2+3x y=－0.5x2－2x－1.5 观察下列二次函数图像： 顶点是抛物线上的最高点（或最低点） y x 0 2 4 6 -2 2 -4 4 y=2x2－4x－6 y=－0.5x2－2x－1.5 问：当自变量增大时，函数的值将怎样变化？ 你还能发现： 这些函数是否存在最大值或最小值，它是由解析式y=ax2+bx+c（a≠0）中的那一个系数决定的吗？ a 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质 １.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 ３.增减性与最值 抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值 y=ax2+bx+c(a0) y=ax2+bx+c(a0) 由a,b和c的符号确定 由a,b和c的符号确定 向上 向下 ,y随着x的增大而减小. , y随着x的增大而增大. ,y随着x的增大而增大. , y随着x的增大而减小. 根据图形填表： 例：已知函数y=－0.5x2－7x＋7.5 (1)求函数的顶点坐标、对称轴，以及图像与坐标轴的交点 坐标，并画出函数的大致图像； 例题探究 解：（1）∵a=－0.5,b=－7,c=7.5; 所以函数y=－0.5x2－7x＋7.5的大致图像如图： x=－7 20 x y 10 O 10 －10 30 5 －10 －20 －15 －5 (－7，32) (0，7.5) (－15，0) (1，0) ⑵自变量x在什么范围内时，y随x 的增大而增大？何时y 随x的增大而减小？并求出函数的最大值或最小值。 解： ⑵由右图可知， 当x≤－7时， y随x 的增大而增大； 当x≥－7 时，y 随x的增大而减小； 当x＝－7时，函数有最大值32。 (3)求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积? （4）根据图象，说 出 x 取哪些值时， ① y=0; ② y0; ③ y0. 当-15＜x＜1时 当x=-15或x=1时 当x＜-15或x ＞ 1时 已知函数y=x2－3x－4. ⑴求函数图像的顶点坐标、与坐标轴交点的坐标和对称轴，并画出函数的大致图像； 解：∵ y=x2－3x－4 ＝(x－1.5)2－6.25, ∴图象顶点坐标为(1.5, －6.25); 又当y=0时， 得x2－3x－4＝0的解为： x1＝－1，x2＝4。 则与x轴的交点为(－1,0)和(4,0) 与y轴的交点为(0, －4) (－1,0) (1.5, －6.25) (0, －4) (4,0) x=1.5 O y x ⑵记当x1=3.5,x2= ,x3= 时对应的函数值分别为y1,y2,y3,试比较y1,y2,y3的大小? ⑵如右图可知: y2＞ y1 ＞ y3 ( ,y2) ( ,y3) (3.5,y1) 课内练习 1、求下列函数的最大值（或最小值）和对应的自变量的值： ⑴ y=2x2－8x＋1； ⑵ y=－3x2－5x＋1 2、二次函数y=x2＋bx+9的图象顶点在y轴上，那么b等于多少？ x 想一想 如果二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图像与x轴的两个交点的 坐标为 （ x1，0 ）和（ x2 ，0） 方程ax2+bx+c＝0 (a≠0)的解与二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图像与x轴交点的坐标有什么关系？ 那么x1和 x2 恰好是方程ax2+bx+c＝0 (a≠0)的两个根 方程ax2+bx+c＝0 (a≠0)的解就是 函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图像与x轴交点的 坐标。 横 可以发现：二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图像与x轴交点的 存在性与 方程ax2+bx+c＝0 (a≠0)的 解是否存在有关。 归纳与探究 那么，进一步推想方程ax2+bx+c＝0 (a≠0)解的存在性又与什么有关呢？ b2 －4ac的正负性有关。 故而： ①当b2 －4ac 时，抛物线与x轴有 交点； ②当b2