17第十七章 数论综合.docx

第十七章数论综合概念数论是纯粹数学的分支之一，主要研究整数的性质。整数可以是方程式的解。有些解析函数中包括了一些整数、质数的性质，透过这些函数也可以了解一些数论的问题。透过数论也可以建立实数和有理数之间的关系，并且用有理数来逼近实数。最基本的包含：数的整除,余数问题,奇数与偶数,质数与合数,约数与倍数,完全平方数,个位数的判定。【解题思路和方法】1.整除的判别方法主要有定义法．证，有三种方式．（1）假设，然后证明．（定理4）（2）具体找出，满足．（3）论证的存在．2.同余问题 根据定义，同余问题可以转化为整除问题来解决；同时，同余本身有很多性质，可以直接用来解题．3.不定方程未知数的个数多于方程个数的整系数代数方程，称为不定方程．求不定方程的整数解，叫做解不定方程． 解不定方程通常要解决3个问题，方程是否有解？有解时，有几个解，解数是有限还是无穷？求出全部解．例题 一个5位数，它的各位数字和为43，且能被11整除，求所有满足条件的5位数．（真题） 已知是一个四位数，若两位数是一个质数，是一个完全平方数，是一个质数与一个不为的完全平方数之积，则满足条件的所有四位数是_____________.个连续的自然数之和为，若、、、都是质数，则的最小值是多少？ 101个连续的非零自然数的和恰好是四个不同的质数的积，那么这个最小的和应该是_______． 已知□△×△□×□〇×☆△=□△□△□△，其中□、△、〇、☆分别表示不同的数字，那么四位数〇△□☆是多少？为自然数，且，、……、与690都有大于l的公约数．的最小值为_______．7.已知，甲乙两数的最小公倍数是288，最大公约数是4，甲乙两数不是288和4中的数，那么甲乙两数的乘积为多少?和为多少?8. 有15位同学，每位同学都有编号，它们是1号到15号．1号同学写了一个自然数，2号说：“这个数能被2整除”，3号说“这个数能被3整除”，……，依次下去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除，1号作了一一验证，只有编号相邻的两位同学说得不对，其余同学都对，问：⑴说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？⑵如果告诉你，1号写的数是五位数，请求出这个数．9. 一个两位数有6个约数，且这个数最小的3个约数和为10，那么此数为几？10. 两数乘积为，而且己知其中一数的约数个数比另一数的约数个数多，那么这两个数分别是？ 11. 在三位数中，恰好有个约数的数有多少个？12. 两个整数、的最大公约数是，最小公倍数是，并且已知不等于，也不等于或，，那么等于多少？13 已知是一个有12个约数的合数，、有24个约数，有40个约数，求有多少个约数？ 14. 已知偶数不是的整数倍，它的约数的个数为，求的约数的个数. 15. 要使这个积是的倍数，并要使最小，则． 16. 从到的所有自然数中，乘以后是完全平方数的数共有多少个？17. 有个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的最小值为_____． 18. 志诚小学三四年级的学生人数比一二年级的学生人数多人，但比五六年级的学生人数少人，已知五六年级的学生人数和一二年级的学生人数都是完全平方数，那么志诚中学总的学生人数有多少人？(请写出最现实的答案)19. 能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？ 20. 一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个数为“智慧数”，比如16=,16就是一个“智慧数”，那么从1开始的自然数列中，第2003个“智慧数”是_______．21. （真题）（2008年清华附中入学考试题）有两个两位数，它们的差是，将它们分别平方，得到的两个平方数的末两位数（个位数和十位数）相同，那么这两个两位数是（请写出所有可能的答案）．22. 两个连续自然数的平方和等于，又有三个连续自然数的平方和等于，则这两个连续自然数为_______，这三个连续自然数为_______．23. 有个自然数相加： (和恰好是三个相同数字组成的三位数)，那么__________．24. 已知有个约数，有个约数，有个约数，有多少个约数？25.、两数都只含有质因数3和2，它们的最大公约数是18．已知有12个约数，有8个约数，那么______．26.把26、33、34、35、63、85、91、143分成若干组，要求每一组中任意两个数的最大公约数为1．那么最少要分几组?27.如果把任意n个连续自然数相乘，其积的个位数字只有两种可能，那么n是多少?28. （真题）如果四个两位质数a，b，c，