2-4 隐函数及由参数方程确定的函数的导数 相关变化率.ppt

* * * * * * 练习题答案 * * Mathematics * * 第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率 一、隐函数的导数 二、由参数方程所确定的函数的导数 三、相关变化率 四、小结 思考题 第二章 * * 一、隐函数的导数 定义: 隐函数的显化 问题: 隐函数不易显化或不能显化如何求导? 隐函数求导法则: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导. * * 例1 解 解得 是x 的复 合函数 * * 例2 解 解得 是x 的复 合函数 * * 例3 解 方程两边对x求导，得 * * 例4 解 （法二见P103例4） * * 对数求导法 观察函数 方法: 先在方程两边取对数, 变形，然后利用隐函数的求导方法求出导数. --------对数求导法 适用范围: 问题:如何求导？ * * 例5 解 等式两边取对数得 * * 1) 对幂指函数 可用对数求导法求导 : 说明: 按指数函数求导公式 按幂函数求导公式 注意: * * 2) 有些显函数用对数求导法求导更方便 . 例如, 两边取对数 两边对 x 求导 * * 又如, 对 x 求导 两边取对数 * * 二、由参数方程所确定的函数的导数 例如 消去参数 问题: 消参困难或无法消参如何求导? * * 由复合函数及反函数的求导法则得 * * 时, 有 (此时看成 x 是 y 的函数 ) * * 若上述参数方程中 二阶可导, 且 则由它确定的函数 可求二阶导数 . 利用新的参数方程 ,可得 * * ? 例6. 设 , 且 求 已知 解: 注意 : 练习: P109 题8(1) 解: * * 例7 解 * * 所求切线方程为 * * 例8 解 * * 三、相关变化率 相关变化率问题: 已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率? * * 相关变化率 为两可导函数 之间有联系 之间也有联系 称为相关变化率 相关变化率问题解法: 找出相关变量的关系式 对 t 求导 得相关变化率之间的关系式 求出未知的相关变化率 * * 例9 解 仰角增加率 * * 有一底半径为 R cm , 高为 h cm 的圆锥容器,今以 自顶部向容器内注水,试求当容器内水位等于锥高的一半时水面上升的速度. 例14 解 设时刻 t 容器内水面高度为 x , 水的体积为V , 两边对t求导, P109 题11 * * * * 1. 隐函数求导法则: 直接对方程两边求导; 2. 对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数的求导法 则求导; 适用于幂指函数及某些用连乘、 连除表示的函数。 3. 参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则; 求高阶导数时, 从低到高每次都用参数方程求导公式 4. 相关变化率问题 列出依赖于 t 的相关变量关系式 对 t 求导 相关变化率之间的关系式 四、内容小结 * * 练习 设 求 提示: 分别用对数微分法求 答案: * * 本节作业： P108: 1 (3) (4), 2, 3 (2) (3), 4 (1) (2) (4), 5, 7 (2), 8 (3) (4), * * 思考题 * * 思考题解答 不对． * * 练 习 题 * * Mathematics