Ch5常微分方程的数值方法1-19.ppt

* 第5章 常微分方程的数值方法 近似解析法、数值方法 初值问题 本章主要研究求解一阶常微分方程初值问题的几个常用的数值方法。 且f(x,y)满足李普希茨（Lipschitz)条件，即存在常数L，使 则由常微分的理论知道，初值问题（5.1）在区间[a,b]上存在唯一解。 1.求解区间[a,b]的离散化 5.1 建立常微分数值方法的基本思想与途径 微分方程数值解法的基本思想： 把求解区间和方程离散化，求出方程的解y(x)在一系列离散点上的近似值。 因此，不同的离散方式就产生不同的数值解法。 2.将微分方程离散化 （1）差商逼近法：用差商代替导数。 （2）数值积分法： （3）Taylor展开法： 用 处的向前、向后差商分别代替（5.1）左边的微商，实现微分算子离散化。即 5.2 欧拉（Euler)方法及其截断误差和阶 5.2.1 Euler公式 Euler方法是一种最 简单的显式单步法。 5.2.1 Euler公式 显式Euler公式 隐式Euler公式 梯形公式 （隐式公式） 差分公式 单步法 5.2.2 梯形公式的计算 下面以 梯形公式为例，介绍隐式公式的迭代算法。 对于隐式方法，如果f(x,y)是y的线性函数，则隐式公式可显式计算。 但当f(x,y)是y的非线性函数时，如 5.2.2 梯形公式的计算 下面以 梯形公式为例，介绍隐式公式的迭代算法。 当h很小时，迭代过程（5.7）是收敛的。 ？ 因为f(x,y)满足Lipschitz条件 下面以 梯形公式为例，介绍隐式公式的迭代算法。 所以 这也是迭代过程（5.7）收敛的充分条件。 5.2.3 改进的Euler法 称为改进的Euler公式，这是一种一步显式公式。它的嵌套形式： 预报 校正 梯形公式虽提高了精度，但它是一种隐式算法，需要借助于迭代过程求解，计算量大。而Euler法虽精度低，但他是一种显式算法，其计算量小。 能否综合使用这两种方法？ 5.2.3 改进的Euler法 改进的Euler公式： 公式中用到的斜率是两个点的斜率的加权平均，它为构造新的计算法提供了新的途径。下节介绍的R-K方法就是这种思想的体现和发展。P51 例5.1 改进的Euler公式的优点：实现了隐式显算的目的，且减少了计算量。公式（5.9）还可以写为： 5.2.4 局部截断误差 初值问题（5.1）的单步法可用一般形式表示为： 隐式单步法 显式单步法 5.2.4 局部截断误差 定义5.1 设y(x)是初值问题（5.1）的准确解，称 隐式单步法 显式单步法 为显式单步法（5.11）的局部截断误差。 5.2.4 局部截断误差 定义5.1 设y(x)是初值问题（5.1）的准确解，称 显式单步法 为显式单步法（5.11）的局部截断误差。 例5.2 求显式Euler法和隐式Euler法的局部截断误差。 5.2.4 局部截断误差 定义5.1 设y(x)是初值问题（5.1）的准确解，称 为显式单步法（5.11）的局部截断误差。 定义5.2 设y(x)是初值问题（5.1）的准确解，若存在最大整数p使显式单步法（5.11）的局部截断误差满足 则称方法（5.11）是p阶的，或称具有p阶精度。 例5.3 P125 练 习 设有求常微分方程初值问题 求其局部截断误差及阶数。 5.4 单步法收敛性和稳定性 5.4 单步法的收敛性 显式单步法 差分公式（5.26）在理论上是否合理，要看差分方程的解 这是差分格式的收敛性问题。 这是差分格式的稳定性问题。一个不稳定的差分格式会使计算解失真或计算失败。 定理5.1 对于一个p阶的显式单步法（5.11），若满足如下条件 （2）微分方程的初值是精确的。 则该方法收敛，其整体截断误差为 例5.6 P132 定理5.1表明：判断单步法的收敛性，归结为验证增量函数能否满足Lipschitz条件。 5.4.2 单步法的稳定性 若算法的执行结果与算法精确解之间的误差（它是由舍入误差造成的）很大，就说该算法是数值不稳定的，否则是数值稳定的。 理论上成立的算法，在计算机上机算时，由于初值的误差在计算过程中的传播，而导致结果的失真。 显式Euler方法的稳定性： 将显式Euler法用于模型（5.27），有 对于梯形公式，应用于模型方程（5.27），有 任何一种单步法应用于模型方程（5.27），其中 显式Euler方法、隐式Euler方法及梯形法的绝对稳定区域分别如图5-2(a)、(b)、(c)所示。 例5.7 P135 作 业