§2空间向量的运算.ppt

§2空间向量的运算 一、空间向量的加减法 二、空间向量的数乘 三、空间向量的数量积 教学过程 一、几个概念 二、 课堂练习 三、典型例题例1：已知m,n是平面?内的两条相交直线，直线l与?的交点为B，且l⊥m，l⊥n，求证：l⊥? 三、典型例题例1：已知m,n是平面?内的两条相交直线，直线l与?的交点为B，且l⊥m，l⊥n，求证：l⊥? 例2：已知：在空间四边形OABC中，OA⊥BC，OB⊥AC，求证：OC⊥AB A D F C B E 分析：由定义可知，只需证l与平面内任意直线g垂直。 n m g g m n ? l l 要证l与g垂直，只需证l·g＝0 而m，n不平行，由共面向量定理知，存在唯一的有序实数对(x,y)使得 g=xm+yn 要证l·g＝0,只需l· g= xl·m+yl·n=0 而l·m＝0 ，l·n＝0 故 l·g＝0 n m g g m n ? l l 证明：在?内作不与m、n重合的任一条直线g,在l、m、n、g上取非零向 量l、m、n、g，因m与n相交，得向量m、n不平行，由共面向量定理 可知，存在唯一的有序实数对（x，y），使 g=xm+yn, l·g=xl·m+yl·n ∵ l·m=0,l·n=0 ∴ l·g=0 ∴ l⊥g ∴ l⊥g 这就证明了直线l垂直于平面?内的任一条直线，所以l⊥? A B C O * * ⒈定义： 既有大小又有方向的量叫向量． 几何表示法： 用有向线段表示； 字母表示法： 用字母a、b等或者用有向线段 的起点与终点字母 表示． 相等的向量： 长度相等且方向相同的向量． A B C D ⑴向量的加法： a b a+b 平行四边形法则 a b a+b 三角形法则 ⑵向量的减法 a b a-b 三角形法则 ⒉平面向量的加减运算 加法交换律： a＋b＝b＋a 加法结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 推广 ⒊平面向量的加法运算律 平面向量 概念 加法 减法 运 算 律 减法:三角形法则 加法:三角形法则或 平行四边形法则 空间向量 具有大小和方向的量 加法交换律 加法结合律 具有大小和方向的量 A B C D A B C D A B C D A B C D A1 B1 C1 D1 C A B D b a 平面向量 概念 加法 减法 运 算 律 减法:三角形法则 加法:三角形法则或 平行四边形法则 空间向量 具有大小和方向的量 加法交换律 加法结合律 具有大小和方向的量 a a b a b + O A B b C 加法交换律 加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则 加法结合律 平面向量 概念 加法 减法 运 算 律 减法:三角形法则 加法:三角形法则或 平行四边形法则 空间向量 具有大小和方向的量 加法交换律 加法结合律 具有大小和方向的量 a b c a b + c + ( ) O A B C a b + a b c a b + c + ( ) O A B C b c + 加法交换律： a＋b＝b＋a 加法结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 推广 空间向量的加法运算律 a b a b O A B b 结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用 同一平面内的两条有向线段表示。 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有 关结论仍适用于它们。 思考：它们确定的平面是否唯一？ 思考：空间任意两个向量是否可能异面？ A B C D A B C D A1 B1 C1 D1 A B C D a 平行六面体：平行四边形ABCD平移向量 到A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体. a 记做ABCD-A1B1C1D1 已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量。(如图) A B C D A1 B1 C1 D1 A B C G D 在空间四边形ABCD中, 化简 加法交换律 加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则 加法结合律 平面向量 概念 加法 减法 运 算 律 减法:三角形法则 加法:三角形法则或 平行四边形法则 空间向量 具有大小和方向的量 加法交换律 加法结合律 具有大小和方向的量 一、共线向量: 零向量与任意向量共线. 1.共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量(或平行向量),记作 2.共线向量定理:对空间任意两个向量 的充要条件是存在实数使 推论