微分方程的基础知识与练习.docVIP

微分方程的基础知识与练习 （一）微分方程基本概念： 首先通过一个具体的问题来给出微分方程的基本概念。 （1）一条曲线通过点（1，2），且在该曲线上任一点M（x,y）处的切线的斜率为2x，求这条曲线的方程。 解 设曲线方程为.由导数的几何意义可知函数满足 （1） 同时还满足以下条件： 时， （2） 把（1）式两端积分，得 即 （3） 其中C是任意常数。 把条件（2）代入（3）式，得 ， 由此解出C并代入（3）式，得到所求曲线方程： （4） （2）列车在水平直线路上以20的速度行驶；当制动时列车获得加速度.问开始制动后多少时间列车才能停住，以及列车在这段时间里行驶了多少路程？ 解 设列车开始制动后t秒时行驶了s米。根据题意，反映制动阶段列车运动规律的函数满足： （5） 此外，还满足条件： 时， （6） (5)式两端积分一次得： （7） 再积分一次得 （8） 其中都是任意常数。 把条件“时”和“时”分别代入（７）式和（８）式，得 把的值代入（7）及（8）式得 （9） （10） 在（9）式中令，得到列车从开始制动到完全停止所需的时间： 。 再把代入（10）式，得到列车在制动阶段行驶的路程 上述两个例子中的关系式（1）和（5），（6）都含有未知函数的导数，它们都是微分方程。 1．微分方程的概念 一般地，凡含有未知函数、未知函数的导数及自变量的方程，叫做微分方程。未知函数是一元函数的方程叫做常微分方程；未知函数是多元函数的方程，叫做偏微分方程。我们只研究常微分方程。微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶。 例如，方程（1）是一阶微分方程；方程（5）是二阶微分方程方程。又如，方程 是四阶微分方程。 一般地，阶微分方程的形式是 （11） 其中F是个变量的函数。这里必须指出，在方程（11）中，是必须出现的，而 等变量则可以不出现。例如阶微分方程 中，除外，其他变量都没有出现。 由前面的例子我们看到，在研究某些实际问题时，首先要建立微分方程，然后找出满足微分方程的函数，就是说，找出这样的函数 ，把这函数代入微分方程能使该方程成为恒等式。这个函数就叫做该微分方程的解。 例如，函数（3）和（4）都是微分方程（1）的解；函数（8）和（10）都是微分方程（5）的解。 如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解。例如，函数（3）是方程（1）的解，它含有一个任意常数，而方程（1）是一阶的，所以函数（3）是方程（1）的通解。又如，函数（8）是方程的解，它含有两个任意常数，而方程（5）是二阶的，所以函数（8）是方程（5）的通解。 由于通解中含有任意常数，所以它还不能完全确定地反映某一客观事物的规律性，必须确定这些常数的值。为此，要根据问题的实际情况提出确定这些常数的条件。例如，例1中的条件（2），例2中的条件（6），便是这样的条件。 设微分方程中的未知函数为，如果微分方程是一阶的，通常用来确定任意常数的条件是 时，， 或写成 其中，都是给定的值；如果微分方程是二阶的，通常用来确定任意常数的条件是： 时，， 或写成 ， 其中，和都是给定的值。上述条件叫做初始条件。 确定了通解中的任意常数以后，就得到了微分方程的特解。例如（4）式是方程（1）满足条件（2）的特解；（10）式是方程（5）满足条件（6）的特解。 求微分方程满足初始条件的特解这样一个问题，叫做一阶微分方程的初值问题，记作 （13） 二阶微分方程的初值问题是 3、 例题 例1 验证：函数 （14） 是微分方程 （15） 的解。 解 求出所给函数（14）的导数 把及的表达式代入方程（15）得 + 函数（14）及其导数代入方程（15）后成为一个恒等式，因此函数（14）是微分方程（15）的解