二面角的求法公开课20180108-ppt.ppt

23°26′ 66 °34 ′ 地轴 赤道平面 地球轨道面 (黄道平面) 南极 北极 ↓ ↑ ↖ ↙ 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面. 二面角的定义: 一复习: 2、二面角的表示方法 A B ? ? 二面角?－AB－ ? ? ? l 二面角?－ l－ ? 二面角C－AB－ D A B C D A B C E F D 二面角C－AB－ E 1、定义 二面角的平面角: A B P ? ? l 二面角的平面角必须满足： 3）角的两边都要垂直于二面角的棱 1）角的顶点在棱上 2）角的两边分别在两个面内 二面角的平面角的范围: 0??180? 二面角的大小用它的平面角的大小来度量 以二面角的棱上任意一点为端点, 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线, 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。 A1 B1 P1 注意: (与顶点位置无关) ∠APB= ∠A1P1B1 法一：依据定义找（作）出二面角的平面角， 证明此角是所求角，计算 法一：依据定义找（作）出二面角的平面角， 证明此角是所求角，计算 二面角的求法: a O A B A B O a 求二面角的大小，先求出两个半平面的法向量的夹角，然后根据二面角与其大小相等或互补求出二面角的大小。 ? ? m n 法二：平面法向量法: m n α β 法三：射影面积法: 如图所示， AD?平面M， 设?AHD= ?是二面角A-BC-D的平面角， 由cos ? =AD/AH可得，?ABC与它在过其底边BC的平面M上的射影?DBC以及两者所成的二面角?之间的关系： A B C D H M 二.巩固应用 二.巩固应用 三.课堂小结 求二面角的方法： 第一，依据二面角平面角的定义找(作)角、求证、计算； 第二，法向量法：求二面角转化为求两个面法向量所 成角的余弦值； 第三，射影面积法 ，不需要作出角，但是有时 候计算繁琐 a O A B A B O a 四.布置作业 四.布置作业 练习1:正方体ABCD-A1B1C1D1中， E为棱AA1的中点，求平面EB1C和平面ABCD所成的二面角。 A B C D A1 B1 C1 D1 E 几点说明： ⑴定义法是选择一个平面内的一点（一般为这个面的一个顶点）向棱作垂线，再由垂足在另一个面内作棱的垂线。此法得出的平面角在任意三角形中，所以不好计算，不是我们首选的方法。 ⑵三垂线法是从一个平面内选一点（一般为这个面的一个顶点）向另一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线，连结这个点和棱上垂足。此法得出的平面角在直角三角形中，计算简便，所以我们常用此法。 ⑶垂面法需在二面角之间找一点向两面作垂线，因为这一点不好选择，所以此法一般不用。 ⑷以上三种方法作平面角都需写出作法、证明、指出平面角。 ⑸射影法是在不易作出平面角时用。在解答题中要先证明射影面积公式，然后指出平面的垂线，射影关系，再用公式,这种方法虽然避免了找平面角，但计算较繁，所以不常用。