固体物理 第3章.ppt

故(4)式可写作 因为对于已知晶格， 和 是确定的数，因此 也是确定 的常数。此外， 的出现是由于互作用能中的非谐项引起的， 如果晶体做严格的谐振动，则 ，必有 。 把(1)式代入运动方程 (2) 并把试探解 据此得色散关系 (3) 2)长波极限下， 都是小量 同时代入，消去公因子后得 所以 格波的传播速度 可见，在长波极限下，格波的传播速度与波矢q无关。 (3)式变为 3.9 一维单原子链，原子质量为m，原子间距为a。计及所有原 子间的长程作用，且最近邻、次近邻、次次近邻原子间恢复力 常数依次为 1）求格波的色散关系； 2）若恢复力常数取 式中， 常”现象：当 解：1)设第n个原子对平衡位置的位移为 ，第n+p和n-p个 原子的位移分别记为 和 ，则第n+p 为常数，p遍取所有的整数值，试证明“科恩(Kohn)反 。 和第n－p个原子对第n个原子的作用力可写成 链上每个原子与第n个原子都有相互作用，故第n个原子的运动 方程应为 设试探解为 代入运动方程可得 故格波的色散关系为 (1) 2)若 代入(1)式得 当 时，由上式得到 (2) 因为 ，(2)式的求和对无穷原子系列进行，故 必有 或 对q的关系曲线在 处有一条垂直的切线，即 曲线在 点处扭折，这就是“科恩反常”现象。 3.10 设晶格中每个振子的零点振动能为 ，试用德拜模型 求晶体的零点振动能。 解： 由 所以 3.11 已知一个频率为 的简谐振动在温度T下的平均能量为　　 试用爱因斯坦模型求出由N个原子组成的单原子晶体晶格振 动的总能量，并求其在高温和低温极限情况下的表达式。 解：由N个原子组成的单原子晶体共有3N个自由度，独立晶格 振动方式数也等于3N，晶体振动的总能量便等于晶体振动的总 能量便等于这3N个谐振动的能量之和，即 依照爱因斯坦模型， ，于是上式变为 (1) ； 式中 是爱因斯坦 特征温度。 在高温极限下，x1， ，(1)式化作 上式中的第二项是3N个经典谐振子的平均能量之和；第一项与 温度无关，是爱因斯坦模型下的零点振动能。 在低温极限下，x1， ，从(1)式得 3.12 试用德拜模型求 解上题。 解：按照德拜模型，频率在 之间的独立振动方式 数等于 (1) 式中 是德拜截止频率。因为单原子晶体晶格振动的总能量 当N很大时，格波的频率分布是准连续的，故上式可用下列 积分计算： ， 令 （ 是德拜特征温度）将 上式化简为 (2) 对于高温极限，x1， ，(2)式中的积分 所以 上式中的第二项是3N个经典谐振子平均能量之和，第一项是 德拜模型下晶体的零点振动能。 在低温极限下，x1，(2)式中的积分上限 ，而且 此时(2)式中的积分变为 因此，从(2)式求得 上式表示，在德拜模型中，低温时晶格振动能与温度的4次方 成正比。 3.13 求频率在 到 间隔内的声子数，并写出固体振动 能的表达式。 解：按照德拜理论，在频率 间隔内的独立振动方式 数为 式中， 为截止频率；N为晶体包含的原子数。达到热平衡时， 频率为v的振动在温度T时平均激发的声子数 。 因此，在频率 间隔内的声子数为 每个声子的能量等于hv， 个声子所具有的总能量 由此求得晶体总振动能（略去零点能） 式中 ，（ 是德拜温度）。 上式中的积分一般的不能用解析方法求得，但在极限的情况下， 它有如下简单的结果： 在高温极限下： 在低温极限下： 代入上式，得到晶体在高温极限下的总振动能 低温极限下的总振动能 3.17 对于NaCl晶体，已知恢复力常数 ，试分别求出NaCl晶体中光学支格波和声学支格波的最高频率和最低频率。（已知Cl和Na的原子量分别为35.5和23.0） 解：因为一维双原子晶体的色散关系为 在本题设下，式中m、M分别代表Na、CL原子的质量。当括号 内取“+”号时代表光学支 ，取“－”号时代表声学支 。从 上式得知，光学支的最大频率是 由于 ， ，因而得 而光学支的最小频率是 声学支的最大频率是 （1）NaCl的恢复力常数； （2）长声学波的波速； （3）NaCl的弹性模量。 已知Cl和Na的原子量分别为35.5和23.0。 3.18 对 于 NaCl 晶 体，测 知 其 密 度 ，正 负 离子 的 平 衡 距 离 ，光 学 支 格 波 的 最 高 频 率为 。试以一维双原子晶链模型计算： 解：(1)对于一维双原子链