复变函数第五章解析函数的洛朗(Laurent)展式与孤立奇点知识点总结.docx

第五章 解析函数的洛朗（Laurent）展式与孤立奇点§1.解析函数的洛朗展式1.双边幂级数2.（定理5.1）：收敛圆环H，（1）H内绝对收敛且内闭一致收敛于f(z)=f1+f2（2）函数f在H内解析（3）f在H内可逐项求导p次（4）可沿H内曲线C逐项积分注：对应于定理4.133.（定理5.2 洛朗定理）：在圆环内解析的函数f必可展成双边幂级数，其中为圆周||=,f和圆环唯一决定系数4.泰勒级数是洛朗级数的特殊情形5.孤立奇点（奇点：不解析点）注：多值性孤立奇点即支点6.如果a为f(z)的一个孤立奇点，则必存在正数R，使得f(z)在点a的去心邻域K-{a}：0|z-a|R内可展成洛朗级数§2.解析函数的孤立奇点1.正则部分、主要部分2.可去奇点、极点（m阶极点，单极点）、本质奇点3.（定理5.3）可去奇点的特征（三点等价）：（1）f(z)在a点主要部分为零（2）可去奇点的判定条件：（3）f(z)在a的去心邻域内有界4.施瓦茨（Schwarz）引理：如果函数f(z)在单位圆|z|1内解析，并且满足条件则在单位圆|z|1内恒有且有如果上式等号成立，或在圆|z|1内一点处前一式等号成立，则（当且仅当）其中α是一实常数。5.（定理5.4）：m阶极点的特征（三点等价）（1）主要部分为有限项（系数）（2）f(z)在点a的某去心邻域内能表示成其中在点a的邻域内解析，且≠0;（3）以点a为m阶零点（可去奇点要当作解析点看，只要令g(a)=0）注：f(z)以a为m阶极点6.（定理5.5）：函数f(z)的孤立奇点a为极点的充要条件是7.（定理5.6）：函数f(z)的孤立奇点a为本质奇点的充要条件是8.（定理5.7）：若z=a为函数f(z)之一本质奇点，且在点a的充分小去心邻域内部委零，则z=a亦必为的本质奇点。9.（定理5.8 皮卡（Picard）定理）:本质奇点的无论怎样小的去心邻域内，函数f(z)可以取任意接近于预先给定的任何数值（有限的或无穷的）注：由本质奇点的稠密性，本质奇点仍为倒数的本质奇点10.（定理5.9 皮卡（大）定理）：如果a为函数的本质奇点，则对于每一个A≠∞，除掉可能一个值A=A0外，必有趋于a的无线点列{zn}，使f(zn)=A.§3.解析函数在无穷远点的性质分别对应于上节定理5.3-5.6§4.整函数与亚纯函数的概念1.整函数：整个复平面上解析的函数2.（定理5.10）：若f(z)为一整函数，则（1）z=∞为f(z)的可去奇点的充要条件为：f(z)=常数c0；（2）z=∞为f(z)的m阶极点的充要条件为：f(z)是一个m次多项式c0+c1z+…+ cmzm（3）z=∞为f(z)的本质奇点的充要条件为：展式有无穷多个cn不等于零。（我们称这样的f(z)为超越整函数）3.亚纯函数：奇点只有极点的单值性解析函数4.（定理5.11）：一函数f(z)为有理函数的充要条件为：f(z)在扩充z平面上除极点外没有其他类型的奇点。5.超越亚纯函数：非有理函数的亚纯函数6.整函数是亚纯函数的一种特例7.f(z)是单叶整函数的充要条件：f(z)=az+b= c0z+b（a,c0≠0）2