复变函数积分计算方法.docx

（定义法）1.计算函数沿下列曲线的积分.（2）为从点到点再到点的折线.解：从点到点的直线段参数方程为，在它上有，则，从点再到点的直线段参数方程为在它上有，则，于是由复积分对积分路径的可加性可得4.计算沿下列曲线的积分.（1）为从到的直线段；（2）为从到的上半圆周；（3）为从到的下半圆周.解：（1）直线段的参数方程为在它上有，则（2）上半圆周的参数方程为在它上有，则（3）下半圆周的参数方程为在它上有，则6.设为从到的直线段，计算函数沿的积分.解:直线段参数方程为，在它上有 则用Cauchy积分定理计算积分的值，且证明等式（1）解：被积函数的奇点在积分路径的外部，所以被积函数在闭区域上解析，于是由Cauchy积分定理得 （2）证明：圆周的参数方程为，在它上有于是由（1）得所以比较等式两边的虚部得注：此题常见错误：因为在处处解析，所以非常数实函数在整个复平面上处处不解析！3.试讨论函数沿正向圆周的积分值，其中且.解：函数的奇点为.（1）当时，的奇点在圆周的外部，所以在闭区域上解析，于是由Cauchy积分定理得 （2）当时，在圆周的内部，则由解析函数积分的闭路变形原理可得（其中为任意实数）.5．计算下列积分值，其中积分路径都取正向.（2）解：令，则有上面第一式令得；上面第二式令得.所以，于是1．计算下列积分，其中积分闭路取正向.（1）解：（4）解：（6）解：（8）解：被积函数有6个奇点，只有在圆的内部，于是函数在闭圆域上解析，则由Cauchy积分公式得4.用Cauchy积分公式计算函数沿正向圆周的积分值，然后利用圆周的参数方程证明下面积分（1）解：函数的奇点在积分路径的内部，而函数在闭区域上解析，于是由Cauchy积分公式得 （2）证明：圆周的参数方程为，在它上有于是比较等式两边的虚部得又所以10.设和在简单闭路C上及其内部解析，试证：（1）若在C上及其内部处处不为零，则有（2）若在C上有则在C的内部有证明：（1）因为在简单闭路C上及其内部解析并且处处不为零，则在简单闭路C上及其内部处处解析，于是由Cauchy积分定理得若对于C上的任意一点有由于和在简单闭路C上及其内部解析，则对于C的内部的任意一点，由Cauchy积分公式得所以在C的内部有一、将下列函数在指定环域内展开成Laurent级数，且计算其沿正向圆周的积分值I.（1）解：环域的中心，对应的Laurent级数展开式中取1，于是在环域内的Laurent级数展开式为取得在环域内的Laurent级数展开式的负一次幂系数，又正向圆周为环域内围绕环心的正向简单闭路，所以（3）解：环域的中心，对应的Laurent级数展开式中取-1，于是在环域内的Laurent级数展开式为在环域内的Laurent级数展开式不含有负一次幂，则负一次幂系数，又正向圆周在环域内部且正向围绕环心，所以（5）解：环域的中心，对应的Laurent级数展开式中取-i，于是在环域内的Laurent级数展开式为取得在环域内的Laurent级数展开式的负一次幂系数，又正向圆周在环域内部且正向围绕环心，所以2.利用留数计算下列沿正向圆周的积分.（2）解：被积函数的奇点和都在圆的内部，它们都是一级极点，且满足留数的计算规则3的条件，则由规则3得于是由留数定理得（4）解：被积函数的奇点在圆的内部，它是二级极点，则利用留数的计算规则2得于是由留数定理得（6）（其中m为整数）解：当时，被积函数在圆内部没有奇点，此时当时，被积函数的奇点在圆的内部，其中：当时，是可去奇点，此时于是由留数定理得当时，是级极点，则利用留数的计算规则2得于是由留数定理得综合可得：当且为奇数时，当为其他整数时，4.计算下列各积分，C为正向圆周.（1）解：被积函数在环域内解析，它的五个奇点都在圆周的内部，用留数定理计算比较困难.该积分满足5.2节定理2的条件，则由定理2得（2）解：被积函数在环域内解析，它的奇点都在圆周的内部，其中为一级极点，为本性奇点，由于在本性奇点的留数不容易计算，故用留数定理计算比较困难.该积分满足5.2节定理2的条件，则由定理2得．利用留数计算下列定积分.（1）解：令，则，，从而有 .函数在内只有一个简单极点，在上无奇点，且,由留数定理得（3）解：满足5.3节定理2推论的条件，在上半平面内只有一个二级极点，且，因此得注：此类型题常见的错误：计算中取函数的所有奇点而不是只取上半平面的奇点：错解：（5）解：函数在上半平面内只有一个简单极点，且，由5.3节定理3推论得，因此取其实部得注：此类型题常见的错误：计算中取函数的所有奇点而不是只取上半平面的奇点；计算出留数后取实部或虚部再乘以得出结果，而不是计算出留数乘以后再取实部或虚部才得出结果。错解：注意：此类定积分题最后的结果一定是实数！