复变函数第四章解析函数的幂级数表示法知识点总结.docx

第四章 解析函数的幂级数表示法§1.复级数的基本性质1.（定理4.1）复级数收敛的充要条件：实部虚部分别收敛。2.（定理4.2）复级数收敛的充要条件（用定义）：对任给的0，存在正整数N()，当nN且p为任何正整数时，注1：收敛级数通项必趋近于零；注2：收敛级数各项必有界；注3：级数省略有限个项不改变敛散性。3.（定理4.3）收敛4.（定理4.4）（1）绝对收敛的复级数可任意重排，不改变收敛性，不改变和；（2）两个绝对收敛的复级数可按对角线方法得出乘积（柯西积）级数，也绝对收敛于。5.一致收敛的定义：对任给的0以及给定的，存在正整数N=N(,z)，当nN时，有式中6.不一致收敛的定义7.（定理4.5 柯西一致收敛准则）：级数收敛的充要条件是：任给0，存在正整数N=N()，使当nN时，对一切，均有8.（定理4.5’ 不一致收敛准则）：9.（优级数准则）：如果有正数列，使对一切，有|)|≤，且正项级数收敛复级数在集E上绝对收敛且一致收敛。10.优级数定义：称为的优级数。11.（定理4.6）级数各项在点集E上连续，且一致收敛于f(z)，则和函数也在E上连续。12.（定理4.7 积分求和符号可交换）级数的各项在曲线C上连续，且一致收敛于f(z)，则沿C可逐项积分13.内闭一致收敛：有界闭集上一致收敛14.（定理4.8）在圆K：|z-a|R内闭一致收敛的充要条件：对任意正整数，只要R，级数在闭圆上一致收敛。15.（定理4.9 魏尔斯特拉斯定理）：设（1）函数在区域D内解析；（2）在D内内闭一致收敛于函数f(z):则：（1）f(z)在D内解析；（2）（3）在D内内闭一致收敛于§2.幂级数1.（定理4.10 阿贝尔定理）：幂级数在某点(≠a)收敛它必在圆K：|z-a||-a|（以a为圆心，圆周通过的圆）内绝对收敛且内闭一致收敛。2.（推论4.11）：幂级数在某点(≠a)发散在以a为圆心，圆周通过的圆周外发散。3.收敛半径：圆周内部绝对收敛，圆周外部发散。4.（定理4.12 收敛半径R的求法 柯西-阿达马公式）：（不能缺项）如果幂级数的系数满足：或或则幂级数的收敛半径：注：上极限：收敛子数列的极限值的上确界值。5.例4.5：（4）（缺项幂级数）6.（定理4.13）：（1）幂级数的和函数f(z)在其收敛圆K：|z-a|R（0R≤）内解析；（2）在K内，幂级数可逐项求导至任意阶，且收敛半径相同；（3）（p=0,1,2,…），即§3.解析函数的泰勒展开式1.（定理4.14 泰勒定理）：设f(z)在区域D内解析，aD，只要圆K：|z-a|R含于D，则f(z)在K内能展成幂级数其中系数(：|-a|=，0)2.（定理4.15）函数f(z)在区域D内解析的充要条件：D内任一点a的邻域内可展开成z-a的幂级数，即泰勒级数3.柯西不等式：泰勒系数满足：（0R）。4.（定理4.16）：幂级数收敛半径R0，且在收敛圆周C：|z-a|R上至少有一奇点（不可能处处解析）注：找收敛半径=找最近奇点5.一些初等函数的泰勒展式：（1）（2）cosz（3）sinz（4）多值函数（5）例题：（1）将在z=0展成泰勒级数（2）求的展式§4.解析函数零点的孤立性及唯一性定理1.m阶零点定义：…，，m=1称为单零点。注：泰勒展开第一项即为m阶导2.（定理4.17）：不恒为零的解析函数f(z)以a为m阶零点的充要条件为：在a的邻域内解析，且≠03.（定理4.18）：不恒为零的解析函数的零点必是孤立的4.（推论4.19）：设（1）函数f(z)在邻域K:|z-a|R内解析；（2）K内有f(z)的一列零点{}(≠a)收敛于a，f(z)在K内必恒为零5.（定理4.20 唯一性定理）：（1）函数在区域D内解析；（2）D内有一个收敛于的点列{}(≠a)，其上等值在D内恒等6.（推论4.21）设在区域内解析的函数在D内的某一子区域（或一小段弧）上相等在D内恒等7.（推论4.22）一切在实轴上成立的恒等式，只要等式两边在z平面上都是解析的等式在z平面上也成立8.（定理4.23 最大模原理 等价于最小模原理）：函数f(z)在D内解析|f(z)|在D内任何点都不能达到最大值，除非在D内f(z)恒等于常数9.（推论4.24）：设：（1）f(z)在有界区域D内解析，在闭域上连续；（2）则除f(z)为常数的情形外，即：最大值一定在边界上取到，除非是常值函数。61