幂函数图像及性质.ppt

幂函数 人教版数学A版必修1 问题1:如果张红购买了1元/千克的蔬菜x千克，那 么她需要付的钱数y（元）和购买的蔬菜量x （千克）之间有何关系？ 问题2:如果正方形的边长为x，那么正方形面积y为多 少 ？ 问题3:如果正方体的棱长为x，那么正方体体积y为多 少 ？ 问题4:如果正方形场地的面积为x，那么正方形的边长 y为多少？ 问题5:如果某人x秒内骑车行进1千米，那么他骑车的 平均速度y为多少？（千米/秒） 问题情境 以上问题中的函数有什么共同特征 (1)y=x (2) y=x2 (3) y=x3 (4) y=x0.5 (5) y=x-1 上述问题中涉及的函数，都是形如 y=xa的函数。 （1）都是函数； （2）均是以自变量为底的幂； （3）指数为常数； （4） 前面的系数为1; 从而我们归纳出幂函数的一般概念： 一般地，形如 的函数称为幂函数，其中 为自变量，α为常数． 注意与指数函数的区别: ● 幂函数——底数是自变量、指数是常数。 ● 指数函数——指数是自变量、底数是常数。 例1 判断下列函数哪几个是幂函数？ 答案（2）(5)（6） 例2．写出下列函数的定义域，并分别指出它们奇偶性： 定义域为R，奇函数 定义域为 ，非奇非偶 定义域为 ，偶函数 二、幂函数的图象 试作出下列函数的图象　　 　　 　　　　　　　 函数 性质 y=x y=x2 y=x3 y=x1/2 y=x-1 定义域 值域 奇偶性 单调性 定点 奇 偶 奇 非奇 非偶 奇 (1,1) (0,0) (1,1) (0,0) (1,1) (0,0) (1,1) (0,0) (1,1) R R R {x|x≠0} ［0,+∞） R R {y|y≠0} ［0,+∞） ［0,+∞） x∈[0，+∞)时增 x∈(-∞，0]时减 增 增 增 x∈[0，+∞)时减 x∈(-∞，0]时减 观察幂函数图象，将你发现的结论写在下表 ● 所有的幂函数在(0,+∞)都有定义，并且图象都通过点(1,1) ； ● 指数是偶数的幂函数是偶函数,指数是奇数的幂函数是奇函数； ● ?0时, ●?0时, 幂函数的性质 (1)图象都经过点（0，0）和（1，1） (2)图象在第一象限,函数是增函数. (1)图象都经过点（1，1）； (2)图象在第一象限是减函数； (3)在第一象限内,图象向上与Y轴无限 地接近,向右与X轴无限地接近. 例3.比较下列各组数的大小： 解后反思 两个数比较大小，何时用幂函数模型，何时用指数函数模型？ 知识应用： 例4 证明幂函数 　 在[0,+∞)上是增函数． 证明：任取x1,x2∈ [0,+∞)，且x1＜x2，则 除了作差，还有没有其它方法呢？ 证明2: 任取x1 ,x2 ∈ ［0，+∞）,且x1 x2 则x1/x21 所以 所以 所以 例4 证明幂函数f(x)= x1/2 在［0，+∞）上是增函数. (1)作差法:若给出的函数是有根号的式子,往往采用有理化的方式 (2)作比法:证明时要注意分子和分母均为正数,否则推不出 ｆ(x1)ｆ(x2) 课堂练习 画出 的大致图象，并求出其定义域、奇偶性，并判断和证 明其单调性. 小结： ⒈幂函数概念，常见幂函数的图像，幂函数图像变化情况和性质； ⒉应用常见幂函数的单调性比较两个同指数的指数幂的大小。 一、基本内容 二、思想方法 1.通过研究函数的性质来指导作图，反过来又借助于函数图象来进一步研究函数性质； 2.根据对某类事物中的一部分对象的情况，而作出关于该类事物一般性结论的推理，其结论是否正确，还需要理论的证明和实践的检验。 小结： * * * * * * * * * * * * * * * *