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控制工程基础——根轨迹法 第四章：根轨迹法 4.1 基本概念 2. 幅值条件和相角条件 定义、绘制步骤、应用（1） 定义、绘制步骤、应用（2） 4.2 绘制根轨迹的基本规则 2. 基本规则（1） 2. 基本规则（2） 2. 基本规则（3） 2. 基本规则（4） 2. 基本规则（5） 4.3 广义根轨迹的绘制 4.3 广义根轨迹的绘制（2） 4.3 广义根轨迹的绘制（3） 4.4 非最小相位系统的根轨迹 具有局部正反馈系统的根轨迹 含有非最小相位元件系统的根轨迹 含有延迟环节的系统的根轨迹 欢迎各位同学提出宝贵意见！ * * 机电工程学院测控技术与仪器系 黄安贻 Email: huanganyi@mail.whut.edu.cn, Tel:H) 提出 1. 闭环传递函数极点在s平面上的分布决定了闭环系统的稳定性和瞬态响应的特征。 2. 高阶系统闭环传递函数极点求解困难。 3. 开环传递函数与闭环特征多项式间具有内在联系。 应用 求解闭环特征多项式根的图解法——根轨迹法简单、实用，可求解线性（连续或离散）系统极点。 1. 什么是根轨迹？ 闭环特征方程式及其解 可见，根轨迹是K变化时，闭环特征方程的根在s平面上形成的轨迹。 图示系统的闭环特征方程式为 变换为 其根为根轨迹上的点。由于s是复数，所以 称为幅值条件 G(s) H(s) R(s) E(s) C(s) B(s) + － 将开环传递函数化为典型环节形式后，可得开环增益K。 称为常规根轨迹或 根轨迹。 称为 根轨迹。 称为相角条件 相角条件是根轨迹的充分必要条件。 根轨迹是s平面上满足相角条件的点的集合。 定义 先找出s平面上满足相角条件的点，并把它们连成曲线。 步骤 应用1 如前例中，根据相角条件画出根轨迹。若要求阶跃作用下的超调量为4%，试确定开环增益K。 根据幅值条件 代入 应用2 如前例中，根据相角条件画出根轨迹。若阻尼比为0.707，找出其闭环极点并确定阶跃作用下的系统响应。 解题步骤： 1. 由阻尼比求夹角，并通过坐标原点作射线。 2. 根据射线与根轨迹的交点确定极点。 3. 根据幅值条件确定增益K。 4. 求取时间响应。 根据幅值条件 代入 1.开环增益与根轨迹增益 系统开环传递函数两种表示 归一型 K为系统开环增益 零极点型 K0为根轨迹增益 两者关系 根轨迹方程变为 这种表示便于根轨迹绘制。 规则1 对称性 根轨迹对称于s平面实轴。如：前例。 规则2 分支数、起点和终点 分支数是系统的阶次n，起点在开环传递函数的极点；m个终点在开环零点处，n－m个终点在无穷远处。 规则3 在实轴上的分布 在实轴上任取一试验点si，若该点右方实轴上开环极点数与零点数之和为奇数，则该点是根轨迹上的一点，该点所在的线段就是根轨迹。 可根据相角条件得到证明。 规则4 渐进线（n－m条） 1. 倾角θ满足相角条件，因此， 分析： 2. 与实轴交点σA 例：某单位负反馈系统的开环传递函数为 试绘制系统的根轨迹。 1. 开环极点有三个：0，-1，-2；是系统三条根轨迹分支的起点。没有开环零点，所以终点均在无穷远处。 2. 渐进线与正实轴夹角和交点为 3. 根据规则3，实轴上0～-1和-2～-∞间的线段是根轨迹。 规则5 分离点和会合点 当根轨迹分支在实轴上相交后走向复平面时，该交点称为分离点。 当根轨迹分支由复平面走向实轴时，在实轴上的交点称为会合点。 例：某单位负反馈系统的开环传递函数为 试绘制系统的根轨迹。 系统闭环特征方程为： 根据根轨迹在实轴上的分布，-0.423是根轨迹的实际分离点。 它们都是特征方程的重根，满足D(s)=D’(s)=0，故s满足dK/ds=0。 我们已经求得根轨迹的分离点在s=-0.423。由幅值条件，K=0.38。由于系统至少具有一个实数极点，且在-2以外，可取s=-2.5试探，此时K=1.875。再取s=-2.1， K=0.231。经试探， s=-2.19， K=0.501。系统特征多项式为： 系统开环传递函数为 求K=0.5时的闭环极点。 由于(s+2.19)是其一个因子，故特征方程变为 规则6 出射角和入射角 当根轨迹离开开环复数极点处的切线与正实轴方向的夹角，叫出射角。 当根轨迹进入开环复数零点处的切线与实轴正向的夹角，称为入射角。 规则7 与虚轴交点 根轨迹与虚轴相交表明特征方程有纯虚根存在，常用两种方法求解。 例，已知系统闭环特征方程式 求根轨迹与虚轴的交点及对应K。 1. 直接法 将s=jω代入特征方程，并令实部和虚部分别等于0，有 2. 借助Routh表和辅助方程 K=260，此时，有辅助方程 规则8 特征方程根之和与积 开环传递函