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第四篇　平面向量 第1讲　平面向量的概念及其线性运算 【2014年高考会这样考】 1．在平面几何图形中考查向量加法的平行四边形法则及加减法的三角形法则． 2．考查共线向量定理的应用． 考点梳理 1．向量的有关概念 (1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模． (2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 2．向量的加法与减法 向量运算 定　义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 (1)交换律：a＋b＝b＋a. (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 向量a加上向量b的相反向量，叫做a与b的差，即a＋(－b)＝a－b 三角形法则 a－b＝a＋(－b) 3.向量的数乘运算及其几何意义 (1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下： ①|λa|＝|λ||a|； ②当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0. (2)运算律：设λ，μ是两个实数，则 ①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③ λ(a＋b)＝λa＋λb. 4．共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 【助学·微博】 一条规律 一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量． 一个结论 在△ABC中，若D为BC的中点，则＝(＋)． 一个关系 向量的平行与直线的平行不同，向量的平行包括两向量所在直线平行和重合两种情形． 考点自测 1．若向量a与b不相等，则a与b一定(　　)． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．有不相等的模 B．不共线 C．不可能都是零向量 D．不可能都是单位向量 解析　因为所有的零向量都是相等的向量，故只有C正确． 答案　C 2．若m∥n，n∥k，则向量m与向量k(　　)． A．共线 B．不共线 C．共线且同向 D．不一定共线 解析　当n＝0时，k与m不共线，故选D. 答案　D 3．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是(　　)． A.＝＋ B.＝－ C.＝－＋ D.＝－－ 解析　＝＋＝－. 答案　B 4．D是△ABC的边AB上的中点，则向量等于(　　)． A．－＋ B．－－ C.－ D.＋ 解析　如图，＝＋ ＝＋＝－＋. 答案　A 5．设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与2a－b共线，则λ＝________. 解析　由题意知：a＋λb＝k(2a－b)，则有： ∴k＝，λ＝－. 答案　－ 考向一　平面向量的有关概念 【例1】?给出下列命题： ①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b. 其中正确命题的序号是________． [审题视点] 以概念为判断依据，或通过举反例． 解析　①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同． ②正确．∵＝，∴||＝||且∥， 又∵A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则∥且||＝||，因此，＝. ③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同； 又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同， ∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c. ④不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件． 综上所述，正确命题的序号是②③. 答案　②③ 准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键，特别是对相等向量、零向量等概念的理解要到位，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法． 【训练1】 给出下列四个命题： ①a与b共线，b与c共线，则a与c也共线；②任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四顶点；③向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；④有相同起点的两个非零向量不平行． 其中所有正确命题的序号是________． 解析　由于零向量与任一向量都共线，命题①中的b可能为零向量，从而不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，更不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以命题②不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以命题④不正确；③正确