MATHEMATICA在常微分方程及级数中的应用.docVIP

实验六 Mathematica在常微分方程及级数中的应用 实验内容 1、求微分方程的通解； 2、求微分方程的数值解； 3、收敛级数的求和； 4、将函数在指定点展开成泰勒（）级数. 实验目的 1、熟练掌握在系统下求微分方程的通解与数值解； 2、画出由微分方程通解所决定的积分曲线簇； 3、熟练掌握在系统下级数的求和、展开. 实验准备 一、在解微分方程中的应用 1、求微分方程的通解 求解微分方程就是寻找满足方程的未知函数的表达式，在中，未知函数用表示，其微分用等表示；通解中的常数用等表示. 在中使用命令求微分方程的通解、特解以及求解微分方程组，其命令格式如表所示. 表 命令 意义 方程， 求微分方程的通解 方程，初始条件 求微分方程的特解 方程组， 求微分方程组的通解 方程组，初始条件组 求微分方程组的特解 注意：在使用函数前要用命令清除变量以前的定义. 例 求微分方程的通解. 解： 例 求微分方程的通解. 解： 例 求微分方程满足初始条件，的特解. 解： 例 求微分方程组满足初始条件时的特解. 解： 2、求微分方程的数值解 虽然许多微分方程无法求得其通解，但是只要微分方程含有初值问题，且属于常微分方程，则可以用函数得到该微分方程的数值解，当然在此处要给出求解区间.由于函数输出微分方程的数值解是用函数， 是数值解的定义区间.因此，我们可以根据函数查询某一点的函数值. 函数的调用格式如表所示，常用的选择项如表所示. 表 命令 意义 [{方程，初始条件}， ，] 求微分方程的数值解 [{方程组，初始条件组}， ，] 求微分方程组的数值解 表 命令 意义 表示数值解的精确度为 最大步数 最大步长 注意：用求出微分方程的数值解后可用下面命令画出积分曲线： 例 在区间上求微分方程在处的数值解，精确到，并作出数值解的积分曲线. 解： 二、Mathematica在级数中的应用 1、收敛级数的求和 求级数在收敛域内的和函数的命令如表所示. 表 命令 意义 求级数在收敛域内的和函数 例 求下列级数在收敛域内的和函数. （1） ； （2）. 解： 2、将函数在指定点展开成泰勒（）级数 将函数在指定点展开成泰勒（）级数的命令如表所示. 表 命令 意义 [函数，] 对函数在指定点处展开至阶泰勒级数，展开式中含有阶无穷小量 [[函数，]] 对函数在指定点处展开至阶泰勒级数，展开式中不含有阶无穷小量 注意：（1）当时，展开式称为麦克劳林级数； （2）如果在指定点无法进行泰勒展开，会输出原式. 例 将函数展开成的阶幂级数. 解： 例 分别用命令和-命令将函数展开成阶麦克劳林级数. 解： 3、将函数展开成傅里叶级数 中没有直接求傅里叶级数的命令，但我们可以利用的语法定义傅里叶级数的运算命令，然后调用该命令. 利用的语法定义傅里叶级数的运算命令为： ；； ； ； ； 注意：（1）定义中的是模块命令，具体可参考其他参考书； （2）可以对照本书的傅里叶级数部分理解上面的定义程序. 将函数展开成傅里叶级数的步骤为： （1）调用傅里叶级数的定义； （2）使用表的命令. 表 命令 意义 将上的周期函数展开成傅里叶级数， 其中为级数的项数. 注意：每一次使用命令前都要重新调用定义. 例 设是周期为的周期函数，它在上的表达式为，将展开成阶傅里叶级数，并作图. 解：调用定义 例 将周期为的函数展开成阶傅里叶级数，并作图. 解：调用定义 实验任务 1、求级数在内的和函数； 2、将展开成阶麦克劳林级数； 3、将周期为的函数展开成阶傅里叶级数.