自动控制原理_根轨迹法.ppt

J.Z. Xiao, CEIE, HBU 1 第四章 根轨迹法 反馈控制系统的运动特征取决于其闭环传递函 数：极点、比例系数、零极点分布等。 1948年，伊凡思（W.R.Evans）根据反馈控制系 统的开环传递函数与其闭环特征方程间的内在 关系，确定闭环特征方程特征根的一种图解方 法——根轨迹法。 将开环系统中的参数与闭环极点间的关系通过 直观的方法确定出来，便于对系统稳定和综合 性能的分析。 助是非常便利的！ J.Z. Xiao, CEIE, HBU 电流 温度 电流/ 电压 扭矩/ 转速 阀门 开度 缸位移 被控对象都是简单的输入和输出 间的开环关系，而最终是要闭环 的。如果能根据开环系统判断闭 环系统的极点、零极点分布、开 环增益等，那么对系统控制的帮 W.R.Evans 2 采用根轨迹 解决！ K 0 0.1 0.25 0.5 1 …… ∞ S 1 0 -0.113 -0.5 -0.5+j0.5 -0.5+j0.87 …… -0.5+j∞ S 2 -1 -0.887 -0.5 -0.5-j0.5 -0.5-j0.87 …… -0.5-j∞ = 2 s1 = − + , s2 = − − J.Z. Xiao, CEIE, HBU 3 一、 根轨迹的基本概念 K s + s + K K s( s + 1) + K Φ ( s) = 1 2 1 2 1 − 4K 2 1 − 4K 2 闭环特征方程为 s2+s+K=0, 解得闭环特征根表达式 1. 根轨迹概念 K s(s + 1) R(s) - C(s) -1 σ jω K=0 K=0.5 K=0.5 K=0.25 K=0 -0.5 -0.5 0.5 0 图4-2 系统的根轨迹 J.Z. Xiao, CEIE, HBU 4 根轨迹是指开环系统某个参数由0变化到∞，闭环特征根在s平面上 移动的轨迹。 （1）系统为结构稳定系统。无论K为何值，其特征根始终位于复 平面的左半平面。 （2）当0K0.25时，二阶系统的两个特征根为位于左半面的两个 实根，系统处于过阻尼状态。当K0.25时，两个特征根为位 于左半面的一对共轭复根，系统处于欠阻尼状态。当K=0.25 时，两个特征根为位于左半面的两个相等的实根，系统处于 临界阻尼状态。 （3）从根轨迹的分布，对于给定的K值，可以估计系统的主要动 态性能。如K=0.5时，闭环特征根为-0.5±j0.5。 ξ = 0.707 ω n = 0.707 ， 2 ξπ 1−ζ − σ％＝ e J.Z. Xiao, CEIE, HBU 5 2. 根轨迹方程 G(s) 1 + G(s) H (s) 系统的闭环传递函数: Φ(s) = C（s） R（s） － G (s) H (s) 闭环特征方程即根轨迹方程为G(s)H(s)= –1 G(s)H (s) e arg[G ( s ) H ( s )] = 1 ⋅ e j ( 2 k +1)π G(s) H (s) = 1 arg[G (s) H ( s)] = (2k + 1)π k = 0 , ± 1, ± 2 L 模条件 角条件 ∏ (− z ) ∏ (τ s + 1) ∏ (T s + 1) ∏ (s − z ) ∏ (s − p ∏ (− p ∑ ∠( s − z ⎜⎜ ∏=j 1 | s − z j | ⎟⎟ = 1 , ⎜ K = m ⎜ | s − pi | ⎟ ∏=i 1 ∏=i 1 | s − pi | ⎛ ⎞ ∏ ( s − z K ∏ ( s − p ) K ∏| s − z j | ) − ∑ ∠( s − pi ) = (2k + 1)π J.Z. Xiao, CEIE, HBU 6 、极 i i j = K m i =1 n j =1 * m i =1 n j =1 j ) G(s) H (s) = K i K = K m i =1 n j =1 * j ) 将根轨迹方程写成零迹增益点表示的矢量方程为： 开环增益 ) i m * j =1 n i =1 j = −1 = e j ( 2 k +1)π (k = 0, ± 1, ± 2, L) n ⎜ * ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ m j =1 * n n i =1 m j =1 j 模值