2007年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题解析.docVIP

高一数学竞赛训练试题（8） 一、填空题(每小题7分，共70分) 1. 已知函数，则有最小正周期 2. 关于的不等式任意两个解的差不超过，则的最大值与最小值的和是 3. 已知向量a、b，设ab，ab，ab，则一定共线的三点是 4. 若、，其中，，并且，则实数对表示平面上不同点的个数为__________个 5. 已知（R），且 则a的值有 个 6. 设为等差数列的前项和，若，，则公差为 . 7. 设且的图象经过点，它的反函数的图象经过点 ，则等于 8. 已知函数的图象如图，则满足的的取值范围为 . 9. 在中，已知，，，则的面积为 . 10. 设命题:，命题: 对任何R，都有. 命题与中 有且仅有一个成立，则实数的取值范围是 . 三、解答题（本题满分60分，共4小题，每题各15分若的值 12. 在非直角中，边长满足． (1)证明：； (2)是否存在函数，使得对于一切满足条件的，代数式恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的，并证明之；若不存在，请给出一个理由． 13. 已知数列中，，，. 求. 14. 已知平面上个圆，任意两个都相交. 是否存在直线，与每个圆都有公共点？证明你的结论. 2007年江苏省高中数学联赛初赛 试题参考答案及评分标准 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1．已知函数，则（ B ）. （A） 有最小正周期为 （B） （C） 有最小正周期为 （D） 无最小正周期 解：，则最小正周期. 故选（B）． 2．关于的不等式任意两个解的差不超过9，则的最大值与最小值的和是（ C ）. （A） 2 （B） 1 （C） 解：方程的两根是，，则由关于的不等式 任意两个解的差不超过，得，即 . 故选（C）． 3. 已知向量a、b，设ab，ab，ab，则一定共线 的三点是（ A ）. （A）A、B、D （B）A、B、C （C）B、C、D （D）A、C、D 解：ab，所以A、B、D三点共线. 故选（A）． 4. 若、，其中，，并且，则实数对表示平面上不同点的个数为（ C ） （A）个 （B）个 （C）个 （D）个 解：由及题设知，个位数字的选择有5种. 因为 ，故 （1） 由知，首位数字的可能选择有种； （2） 由及知，首位数字的可能选择有种. 于是，符合题设的不同点的个数为种. 故选（C）． 5．已知（R）， 且 则a的值有（ D ）. （A）2个 （B）3个 （C）4个 （D）无数个 解：由题设知为偶函数，则考虑在时，恒有 ． 所以当，且时，恒有． 由于不等式的解集为，不等式 的解集为．因此当时，恒有 . 故选（D）． 6．设为等差数列的前项和，若，，则公差为 . 解：设等差数列的首项为，公差为. 由题设得 即 解之得. 7. 设且的图象经过点，它的反函数的图象经过点 ，则等于 . 解：由题设知 化简得 解之得 （舍去）. 故等于4. 8．已知函数的图象如图，则满足的 的取值范围为 ． 解： 因为 ，所以 f[lg(x2-6x+20)]＜0. 于是，由图象可知，，即 ，解得 . 故x的取值范围为 ． 9．在中，已知，，，则的面积为 ． 解：在中，由 得．由正弦定理得． 因为，所以角可取锐角或钝角，从而． ．故 ． 10. 设命题:，命题: 对任何R，都有. 命题与中有且仅有一个成立，则实数的取值范围是 或 . 解：由得．由对于任何R成立，得 ，即．因为命题、有且仅有一个成立，故实数 的取值范围是 或 ． 三、解答题（本题满分60分，每小题15分） 11. 若的值 【思路分析】本题可由已知条件入手求出复数z的模，继而求出复数；也可由几何意义入手来求复数z. 【略解】令 ① ② ①—②得 解得代入后， ①+②得 【别解】如图I—1—8—2