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2017年全国高中数学联赛模拟试题10 第一试 （时间：8:00-9:20 满分：120） 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分. 1.若实数满足，且，则的值是 2. 已知集合，且，其中．若任意，均有， 则实数的最大值为 3. 复数满足，则等于 4. 已知，其中为整数，则 ． 5. 表示、中较小的数，不等式的解集是 . 6. 在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，∠ABD=∠BDC=.已知E是BD上一点，满足CE⊥BD且BE=AD=1.点D到平面ABC的距离为，则的值为 . 7.设为抛物线上相异两点，则的最小值为 8.电脑每秒钟以相同的概率输出一个数字或.则输出的前个数字之和被整除的概率为 . 二、解答题：本大题共3小题，共56分. 9．在矩形中，，为边的中点，设、分别、是上的动点，且满足，连接与交于点，求动点轨迹方程，并指出它的形状。 10.设数列定义为 （1）证明：当时，（2）证明： 11. 已知，对任意实数均有，求使取最小值的所有实数对. 2017年全国高中数学联赛模拟试题10 加试 （时间：9:40-12:10 满分：180） 一、（本小题满分40分） 如图，四边形内接于圆，延长线交于，延长线交于，为圆上任一点， 分别交圆于，若对角线交于， 求证：三点共线 二、（本小题满分40分） 给定实数，个复数满足 证明： 三、（本题满分50分） 求具有下述性质的所有整数：存在无穷多个正整数使得不整除 四、（本题满分50分） 给定整数，求最小的整数，使得存在两个由整数构成的集合，同时满足以下条件： （1），且；（2）对中任意两个不同元素有：当且仅当 2017年全国高中数学联赛模拟试题10 第一试参考解答 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分. 1.若实数满足，且，则的值是 2. 已知集合，且，其中．若任意，均有， 则实数的最大值为 解：令得，在上单调递增， 故，故，当时，故对任意 都有成立，所以实数的最大值为 3. 复数满足，则等于 4. 已知，其中为整数，则 ． 解：由条件知， 于是， 故． 5. 表示、中较小的数，不等式的解集是 . 解:当时,当时, 故min= 又min= 所以有以下四种情形:当时,原不等式为,.此时,.当时,原不等式为.此时,. 当时,原不等式为此时,.当时, 原不等式为.此时,. 综上所述,满足题意的x的取值范围为 6. 在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，∠ABD=∠BDC=.已知E是BD上一点，满足CE⊥BD且BE=AD=1.点D到平面ABC的距离为，则的值为 . 7.设为抛物线上相异两点，则的最小值为 解： 设，则 所以． 当时，　取最小值． 8.电脑每秒钟以相同的概率输出一个数字或.则输出的前个数字之和被整除的概率为 . 解：这n个数字共有种可能情形。设其中数字和被3整除的有种。则不被3整除的有种。对于各数字的情形，若其和被3整除，则前n个数字之和不被3整除；反之，对于前n个数字之和不被3整除的每种情形，有唯一的第个数字可使前个数字之和被3整除。因此，。这表明，概率满足递推关系式。所以 法二：若输出的前n个数字之和被3整除的概率为，则不被3整除的概率为。要使输出的前个数字之和被3整除，则必须使前n个数字之和不被3整除，且此时第个数字也随之确定。所以，由条件概率的公式得，余下同法一。 法三：n个数字共有种可能情形。下面计算其和被3整除的种数，这等于多项式的展开式种等项的系数之和，即。其中，为三次单位根，是其共轭复数。故。因此，所求的概率为. 二、解答题：本大题共3小题，共56分. 9．在矩形中，，为边的中点，设、分别、是上的动点，且满足，连接与交于点，求动点轨迹方程，并指出它的形状。 解：以中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系 则设 则由共线得①，由共线得②， （1）当在上时由得即即 ①×②得，化简得易知此时 轨迹形状是椭圆的一部分 （2）当在上时由得即 即化简得 易知此时，轨迹形状是双曲线的一部分 10.设数列定义为 （1）证明：当时，（2）证明： 11. 已知，对任意实数均有，求使取最小值的所有实数对. 解：若，则不等式可化为，易知 则令，则有，故或，即或， （1）当时若，则由得恒成立，这显然不可能 （2）当时若，则由得恒成立，这显然不可能；所以 （1）当时的两根为则且， 因此此时，等号当时成立 （2）当时，