解三角形知识在数学和其他学科中有着广泛的应用,例如航.ppt

内 容 提 要 本章是在学习了三角函数、平面向量等知识的基础上，进一步学习解三角形的知识．解三角形知识在数学和其他学科中有着广泛的应用，例如航海测量、地理测量、天文测量等领域都会应用到本章知识．本章的主要内容是两个重要定理，即正弦定理和余弦定理，以及这两个定理在解斜三角形中的应用．这两个定理是我们学习有关三角形知识的继续和发展，它进一步揭示了三角形的边角之间的关系，在生产、生活中有着广泛的应用． 学习本章内容注意以下几个问题： 1．重视数学思想方法的运用．解三角形作为几何度量问题，要突出几何背景，注意数形结合思想的运用，具体解题时，要注意函数与方程思想的运用． 2．加强新旧知识的联系．本章知识与初中学习的边、角关系有密切联系，同时，要注意与三角函数、平面向量等知识的联系，将新知识融入已有的知识体系，从而提高综合运用知识的能力． 3．提高数学建模能力．利用解三角形解决相关的实际问题，关键是读懂题意，找出量与量之间的关系，根据题意作出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型． 4．通过本章学习，使学生掌握正弦定理、余弦定理，并能够运用正弦定理和余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题． §1.1　正弦定理和余弦定理 第1课时　正弦定理 (2)正弦定理可变形为a＝ ，b＝ ，c＝ ，也可变形为a∶b∶c＝ . 2．(1)由已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做 ．(2)由正弦定理，已知三角形中的两角和 ，可求其余两边和一角；已知三角形中的两边和 ，可求其余两角和一边． 解析：由正弦定理的变形式得：sinA∶sinB＝a∶b＝8∶4＝2∶1. 答案：A 3．在△ABC中，sinA＝sinC，则△ABC是(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 解析：A＝C. 答案：B 4．在△ABC中，sin2A＋sin2B＝sin2C，则C＝________. 解析：由正弦定理得a2＋b2＝c2，∴∠C＝90°. 答案：90° 5．在△ABC中，A＝60°，B＝45°，c＝1，求此三角形的最小边． [例1]　在△ABC中，a＝5，B＝45°，C＝105°，求边c. [分析]　由题目可获取以下主要信息： 已知三角形的两个角的大小及一条边的长度．解答本题可先用三角形内角和定理求出A，再由正弦定理求出c. [点评]　本题属于已知两角与一边求解三角形的类型，此类问题的基本解法是： (1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边； (2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边． [分析]　利用三角形中大边对大角定理以及结合有解无解的图形来考虑． [点评]　本例属于已知两边及其中一边的对角求解三角形的类型．此类问题解的情况如下： [例3]　在△ABC中，若a2tanB＝b2tanA，试判断△ABC的形状． [点评]　要判断三角形的形状，一是从三角形的角入手：是否有两个或三个角相等，有无直角或钝角；二是从三角形的边入手：是否有两边或三边相等，是否符合勾股定理．求解思路是：从条件出发，利用正弦定理进行代换、转化、化简、运算，发现边与边的关系，或是角与角的关系，从而作出正确的判断． 迁移变式3　(1)在△ABC中，lg(sinA＋sinC)＝2lgsinB－lg(sinC－sinA)，则该三角形的形状是________． (2)在△ABC中，若有acosA＝bcosB，则该三角形的形状是________． 解析：(1)由已知条件知lg(sinA＋sinC)＋lg(sinC－sinA)＝lgsin2B，∴sin2C－sin2A＝sin2B.由正弦定理可得c2＝a2＋b2.故该三角形为直角三角形． 答案：(1)直角三角形　(2)等腰三角形或直角三角形 迁移变式4　已知△ABC中，c＝1，a＝2，则角C的范围是________． 2．解斜三角形的类型 (1)已知两角与一边，用正弦定理，有解时，只有一解． (2)已知两边及其中一边的对角，用正弦定理，可能有两解、一解或无解．在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： 3.利用正弦定理判断三角形的形状 利用正弦定理，结合三角形的内角和定理及三角函数中的一些公式，可以对某些三角关系式或恒等式进行恒等变形，要充分挖掘题目中的隐含条件，通过正弦定理转化为边的关系或角的关系，看是否满足勾股定理、两边相等或两角相等、三边相等或三角相等，从而确定三角形的形状． 已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，可考虑使用正弦定理或正弦定理的推广形式a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC(R为△ABC的外接圆半径