计算方法牛顿插值.ppt

§3.4 牛顿插值 （Newton’s Interpolation ） Lagrange 插值虽然易算，但若要增加一个节点时，全部基函数 li(x) 都需要重新计算。 能否重新在Pn中寻找新的基函数 ？ 希望每加一个节点时，只附加一项上去即可。 本讲主要内容: ● Newton插值多项式的构造 ● 差商的定义及性质 ● 差分的定义及性质 ● 等距节点Newton插值公式 ｛1,x - x0, (x - x0)(x - x1) ，…，(x-x0)(x-x1)… (x-xn-1)｝是否构成Pn的一组基函数？ 利用插值条件Nn(xj)=f(xj), j=0,1，…，n代入上式，得关于Ak (k=0,1，…，n)的线性代数方程组 基函数 当xj 互异时，系数矩阵非奇异，且容易求解 How complex the expression are! It is not a difficult thing for a mathematician. We can use notation ? 差商(亦称均差) /* divided difference */ 称为在xi,xj处的1阶差商 称为在xi,xj,xk处的2阶差商 k阶差商： 利用插值条件和差商,可求出Nn(x)的系数 Ai : 因此，每增加一个结点，Newton插值多项式只增加一项，克服了Lagrange插值的缺点。 . xk f(xk) 一阶差商 二阶差商 三阶差商 …… n 阶差商 差商表 例1:给定f(x)=lnx的数据表 xi 2.20 2.40 2.60 2.80 3.00 f(xi) 0.78846 0.87547 0.95551 1.02962 1.09861 1.构造差商表 2.分别写出二次、四次Newton插值多项式 解:差商表 N2(x)=0.78846 +0.43505(x-2.20) - 0.087375(x-2.20) (x-2.40） N4(x)= 0.78846 +0.43505(x-2.20） - 0.087375(x-2.20)(x-2.40) +0.0225(x-2.20)(x-2.40)(x-2.60) -0.00755(x-2.20)(x-2.40)(x-2.60)(x-2.80) 差商具有如下性质 性质1 (差商与函数值的关系) 性质2 （对称性）：差商的值与结点排列顺序无关 性质3(差商与导数的关系) 1 2 … … … … n?1 1 + (x ? x0) ? 2 + … … + (x ? x0)…(x ? xn?1) ? n?1 Nn(x) Rn(x) Ai = f [ x0, …, xi ] 证明： 定理：Newton插值多项式的余项为 Rn（x）= f[x0 ,x1,… xn， x] ?n+1（x） 其中?n+1 (x）=(x - x0)(x - x1 )(x - x2 )…(x - xn) 由插值多项式的唯一性可知 Nn(x) ? Ln(x)， 故其余项也相同，即 4.4.3 等距节点的Newton插值公式与差分 一阶向前差分 /* forward difference */ 一阶向后差分 /* backward difference */ 一阶中心差分 /* centered difference */ 当节点等距分布时: 一般地,称k阶差分的差分为k+1阶差分,如二阶向前和向后差分分别为 计算各阶差分可按如下差分表进行. 其中 差分具有如下性质 性质1(差分与函数值的关系) 各阶差分均可表示为函数值的线性组合: 性质2(前差与后差的关系): 性质3(多项式的差分) 若f(x)∈Pn(n次多项式类), 则 性质4(差分与差商的关系): 性质5(差分与导数的关系） (11) 称公式(11)为Newton向前差分插值公式,其余项为 (12) 利用这些性质,可将Newton公式进一步简化为 令x=xn-th, 则当x0≤x≤xn时,0≤t≤n.利用差商与向后差分的关系, 式(13)可简化为 (13) 如果将Newton插值公式改为按节点xn,xn-1,…,x0的次序排列的Newton插值公式,即 其余项为 注：一般当 x 靠近 x0 时用前插，靠近 xn 时用后插，故两种公式亦称为表初公式和表末公式。 称式(14)为Newton向后差分插值公式 (14) 例 给定f(x)在等距节点上的函数值表如下: