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能量本征值 nr=0，1，2，... 归一化波函数 （2）l≠0的状态 径向方程 边界条件 引进无量纲变量 无量纲？ 利用 及 →球Bessel方程。 解为球Bessel函数jl(ρ)和球Niumann函数nl(ρ) 的线性组合。 如果把ρ=0点包括在内，nl(ρ)解必须抛弃。 因而球方势阱内有界解取 k由边界条件Rl(ka)=0或jl(ka)=0确定。 在ρ→0时的渐近行为 因为j与ka是三角函数关系，所以当a取有限 值时，k只能取一些分立的值。 令jl(x)=0的根依次记为 则由能量本征值 及 当a→∞时 则jl(ka)=0自动满足。 E无任何限制，可连续变化 因为a无任何限制 k无任何限制 由 由 连续变化的本征态是不能归一化的。 为了实现归一化，常取径向波函数 使其“归一化”为δ函数。 §5.3 三维各向同性谐振子 质量为μ的粒子在势场V(r)中运动 ω是刻画势阱强度的参量。 径向方程 仍然采用自然单位来化简方程。 化为 则径向方程 上式出现两个奇点： r=0 为正则奇点； r=∞ 为非正则奇点 必须把奇异性分离出来。 r → 0时径向方程 可写为 不满足波函数在r=0处的有界条件 Rl(r)有两个解： 但因 解 因此，只能取 但 不满足波函数在无穷远处的 边界条件（概率为0），故弃之 因此，只能取有界解 方程的解 r→∞时，方程近似化为 其渐近行为是 代入方程 将式 u(r)满足 令 通过复合函数求导 合流超几何方程，相应参数 有两个线性独立的解 故有界解 不满足束缚态边界条件,所以必须使合流超几何函数中断为一个多项式,即α=0或负整数。 加上能量的自然单位 令 加上长度单位 可得相应的波函数为三项之积 归一化后 nr表示径向波函数的节点数。 Nr=0，1，2的径向波函数 体系的波函数 讨论： 1、能级简并度 能级也是等间距的。 这表现在 但与一维谐振子不同，二维、三维谐振子 能级是简并的。 同一个N，可有不同的nr，l 这是V(r) ∝r2的结果。 对于给定的EN或N, nr=0,1,2,…(N-1)/2或N/2 可以看出,它高于一般中心力场中能级简并度. 比如 这是由于三维各向同性谐振子场的几何对称性 比一般中心力场的几何对称性要高。 2、在直角坐标系中求解 三维各向同性谐振子可分解为三个彼此独 立的一维线性谐振子，其振动频率相同。 体系的哈密顿算符 Schr?dinger方程 * * 第五章 中心力场 如Kepler运动： 例 §5.1 中心力场中粒子运动的一般规律 地球同步卫星 （1）引力场中的运动 角动量守恒 （2）库仑场中的运动(经典理解) 如原子体系： 电子的运动 共同特点： 角动量的经典表示： 经典角动量是守恒量 是中心力场， 梯度方向就是径向 考虑角动量的经典表达式 又是守恒量， 而 故粒子的运动必为平面运动， 平面的法线方向即为 的方向。 1、角动量守恒与径向运动 若势场为V(r)，粒子的质量为μ，则哈密顿量 角动量是否为守恒量？ 由角动量分量与动量各分量对易式 与经典力学中一样，角动量也是守恒量 容易证明 由角动量只与角度θ、φ有关， 具有球对称性，故一般采用球坐标系 能量本征值方程 径向动能 离心势能(Centrifugal potential) 或 构成守恒量的完全集合。 或 [注]： （2）由于中心力场的球对称，致使径向方 程中不含磁量子数 m，因此能量与m 无关，能级有m兼并。 一般说来，中心力场中粒子的能量是 （2l+1）重简并。 （1）不同的中心力场V(r)决定不同的波函 数R(r)及能量本征值E。 对称元素越多，对称性越强 试比较圆周和球面的对称性 改变这些元素不影响某物理量的描述 令 径向方程 (1)当l=0时，方程类似粒子一维运动方程 (2)方程中出现一项由轨道角动量引起的 附加势能——离心势能 动量愈大，则离心势能愈大，能级愈 高，离心势能是正定的。因此，中心 力场中粒子的基态必属于l=0的态。 [注]： 简介奇点概念 如果 在x=a处不解析， 则x=a点为非正则奇点； 若在x=a处解析，则 x=a点为正则奇点； 对方程 为正则奇点， 为非正则奇点。 2、径向波函数在r→0邻域的渐近行为 设V(r)满足条件 通常的中心力场都满足这种条件 谐振子势 库仑势 Yukawa势 等 r=0为正则奇点。 可写 Rl(r)满足的径向方程 （此处不涉及另一奇点r→∞） 设 代入径向方程 得r最低次幂所满足的指标方程： s=l 和 s=-(l+1) 当r→0时 根据 根据波函数的统计解释,当r→0时,若 则