量子力学课件量子力学new71章节.ppt

§7 量子力学的矩阵形式和表象变换 将此式代入上页平均值公式 (3) 本征值方程 ak的齐次线性方程组。 方程组有非零解的充要条件： 系数行列式为零 矩阵形式 表成列矢的形式 如表象空间的维数为N，则上式是关于 的N次方程，有N个实根。 4、力学量的表象变换 或 同理 将S矩阵元提到积分号外 注意：S是不同表象基矢间的变换矩阵。 §7.3 量子力学的矩阵表示 量子态ψ则表示成列矢的形式 量子力学的理论表述均可表成矩阵的形式 1、Schr?dinger方程 在F表象中 代入上述方程 而 利用基矢的性质 矩阵形式 2、平均值公式 代入平均值公式 3、 本征值方程 对本征值方程 方程组有非零解的充要条件是系数行列式为零 矩阵形式 * * §7.1 量子态的不同表象, 幺正变换 表象：态和力学量算符的不同表示形式。 态有时称为态矢量。 取平面直角坐标系OX1X2其基矢： （1）直角坐标系中的类比 力学量算符对态的作用:对矢量量进行变换。 标积 基矢的正交归一关系。 投影分量： 这两个表示有何关系？ 矩阵的形式 或 变换矩阵的矩阵元正是两坐标系基矢间的 标积，它表示基矢之间的关系。故R 给定， 任何矢量在两坐标系间的关系也确定。 证明，R 具有下述性质： 由于 称为正交矩阵。 且 ~ 满足上述条件的矩阵叫幺正矩阵。 （实矩阵） 三种矩阵： 厄米矩阵： 正交矩阵： 幺正矩阵： ~ （2）量子力学中的表象 按照态的叠加原理，任何一个态ψ可以看成 Hilbert空间的一个“矢量”。 体系的力学量 F 完全集的共同本征函数系ψk 构成一组正交归一完备基矢。这组基矢构成的 “坐标系”称为F 表象。 同样 对于任意态矢量ψ， 与代数不同点： ①这里的“矢量”（量子态）是复数； ②空间维数可以是无穷的，甚至不可数的。 现在考虑同一个态ψ在另一组力学量完全集 (表象 )中的表示。 那么 ？ 方法同前述。 写成矩阵的形式： 简记 通过S 矩阵相联系，且 即S 矩阵是幺正矩阵 是联系两个基矢的变换矩阵。 例 试证明： S 矩阵是幺正矩阵 [分析]只要证明 S+S 的矩阵元是δij 即可。 在F表象中 根据S 矩阵元的定义 δ函数可以用任何一组正交归一完备函数 组来构成 S+S 矩阵为单位矩阵，即 S+S =I。 §7.2 力学量算符的矩阵表示 正向转动θ角 令 即 力学量算符对态的作用 例 求一维谐振子坐标 x、动量 p 以及 Hamiltonian H 在能量表象中的表示。 [分析] 不同体系的Hamiltonian不一样，能量 表象的基矢也不一样。这里能量表象的基矢 为一维谐振子Hamiltonian 的本征函数 解： 利用一维谐振子波函数的递推关系 而 任何力学量在自身表象中的表示都 是对角矩阵。 对角矩阵。 §7.3 量子力学的矩阵表示 设力学量完全集F的本征态是分立的（基矢 可数），在F表象中，力学量L用矩阵表示 而量子态ψ则表示成列矢的形式 量子力学的理论表述均可表成矩阵的形式。 (1) Schr?dinger方程 代入上述方程 矩阵的形式: (2) 平均值公式 对于力学量算符