量子力学课件量子力学new91章节.ppt

同样可证明关系式 其中 其本征值 即角动量量子数 j 只能取非负整数或半整数。 但 现在的问题是，对于给定的 m可以取那些值？ 下面予以分析： 而 逆表示 因而 改写为 相应地，利用 改写 式 其中 §9.3 两个角动量的耦合与CG系数 两个角动量的耦合 自旋与轨道角动量的耦合 自旋与自旋角动量的耦合 讨论两个一般角动量的耦合 一、两个角动量的耦合 两个角动量分别对不同粒子的态矢运算， 属于不同的自由度，因而是彼此对易的： 定义两个角动量之和 是两个角动量耦合的一般定义。 利用两个角动量各分量满足的基本对易式， 可以证明 或表成 设 的共同本征态记为 ，即 类似地， 的共同本征态记为 对两个粒子组成的体系，如果只考虑角动量 所涉及的自由度，其任何一个态必然可以用 来展开。 即 可作为体系力学量完全集, 而 是它们的共同本征态。 以共同本征态 为基矢的表象称 为非耦合表象。 1. 非耦合表象 在给定 的情况下， 所以 有 个，即它 们张开 维子空间。 2. 耦合表象 考虑到 也构成两粒子体系的一组力学量完全集，共同本征态记为 ， 以共同本征态 为基矢的表象称为 耦合表象，基矢简记为 。 二、两种耦合表象基矢之间的关系 —CG系数 问题： 当给定 ， 可取哪些值？基矢 与 之间的关系如何？ 1. Clebsch-Gordan系数 令 上式的物理意义是明显的。 * 第九章 力学量本征值问题的代数解法 本征值问题的解法 分析解法 代数解法 §9.1 一维谐振子的Schr?dinger因式分解法 一、Hamilton量的代数表示 一维谐振子的Hamilton量 采用自然单位 对易式 令 容易证明 逆 代入Hamilton量 二、Hamilton量的本征值 证明: 利用 及 因此 由此 如此类推，从 的本征态 出发，逐次 用 运算，可得出 的一系列本征态 相应的本征值 因为 为正定厄米算子，其本征值为非负 实数。 此时 即 是 的本征值为0的本征态,或 . 此态记为 ，又称为真空态，亦即谐振子 的最低能态(基态)，对应的能量本征值 ( 加 上自然单位)为 . 利用 同样 说明 也是 的本征态，本征值为 。 利用上式及 从 出发，逐次用 运算，可得出 的全 部本征态： 利用 有 由 可知 已知 是 的本征态，本征值是0 即 也是 的本征态，本征值是1 下面看 是否也是 的本征态，本征值 是多少？ 故 也是 的本征态，本征值是2 对本征态 本征值 本征值 所以， 可以成为上升算符， 可以称为 下降算符。 证毕。 这种描述体系状态的表象叫粒子数表象。 利用归纳法可以证明(课下证）： （即 ）的归一化本征态可表为 且满足 为什么？ 由 得 所以 从而 而由 得 所以 或 上式作用任一左矢 ，有 利用 有 代入上式 即 上式对任意m都成立 或 是下降和上升算符的定义。 或 利用 上式变为 移项，得 连同 利用 以及 容易证明： 第一式的证明为例。 三、升降算符的应用 1. 坐标和动量算符的矩阵元计算 因为 所以 2. 能量本征态在坐标表象中的表示 基态 ， 即 在坐标表象中 插入完备性关系 知道 令 ，代入前式 利用积分中δ函数的性质 添上自然单位，在坐标表象中的归一化基态波函数 而坐标表象中激发态的波函数 添上长度的自然单位 由于 可得 所以 §9.2 角动量算符的本征值和本征态 一、一般角动量算符的对易关系 如果算符j，其三个分量 满足下列 对易关系 对角动量算符的本征值和本征态作一般的讨论。 则以 作为三个分量的矢量算符j 称为角动量算符。 称为角动量的基本对易式。 轨道角动量l,自旋角动量s以及总角动量 l+s=j 的各分量都满足此基本对易式。 定义 利用角动量分量间的一般对易式容易证明： 定义 逆表示 同样可证明： 利用