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§10.0 引 言 1. 微扰体系方程 2、非兼并态微扰论 （3）微扰理论适用条件 （5）实例 2、简并态微扰理论 （1）简并微扰理论 （2）实例 3、讨论 对谐振子有； En(0)-En-1(0)=?ω, En(0)-En+1(0)=-?ω 将上式代入 能级移动与n无关,即与扰动前振子的状态无关. (5)讨论 ----- 电谐振子的精确解 每一个能级都比无电场时的线性谐振子的相应能级低{e2ε2/2μω2 }，而平衡点向右移动了{eε/μω2} 距离。 由于势场不再具有空间反射对称性，所以波函数没有确定的宇称。这一点可以从下式扰动后的波函数ψn已变成ψn(0),ψn+1(0),ψn-1(0) 的叠加看出。 （1）简并微扰理论 （2）实例 （3）讨论 满足本征方程： 共轭方程 0级近似波函数肯定应从这k个|n? 中挑选，而它应满足上节按?幂次分类得到的方程： 选取0级近似波函数|ψn(0)的最好方法是将其表示成k个|n?的线性组合，因为反正0级近似波函数要在|n?(?=1,2,...,k)中挑选。 |ψn(0) 已是正交归一化 系数 c? 由 ?一次 幂方程定出 左乘 n ? | 得： 得： 以展开系数c?为未知数的齐次线性方程组。 可得能量的一级修正En(1)的k个根：En?(1),?=1,2,...,k.因为En?=En(0)+E(1)n? 所以若这k个根都不相等,则一级微扰就可以将k度简并完全消除;若En?(1)有几个重根,则表明简并只是部分消除。 为了能表示出c? 是对应与第?个能量一级修正En?(1) 的一组系数，我们在其上加上角标?而改写成 c?? 。线性方程组就改写成： 例1. 氢原子一级 Stark 效应 （a）Stark 效应 Stark 效应:氢原子在外电场作用下产生谱线分裂现象。 电子在氢原子中受到球对称库仑场作用，造成第n 个能级有 n2 度简并。但是当加入外电场后，由于势场对称性受到破坏，能级发生分裂，简并部分被消除。Stark 效应可以用简并情况下的微扰理论予以解释。 （b）外电场下氢原子 Hamilton 量 取外电场沿 z 正向。通常外电场强度比原子内部电场强度小得多，例如,强电场≈107 伏/米，而原子内部电场≈1011伏/米，二者相差 4个量级。可以把外电场的影响作为微扰处理。 （c） H0 的本征值和本征函数 只讨论 n=2 的情况，简并度 n2=4。 4个简并态： 即 欲使上式不为 0，由球谐函数正交归一性要求量子数必须满足如下条件： 因为 是微扰矩阵元的表达式 （e）能量一级修正 4 个根： 在外场作用下，原来 4 度简并的能级 E2(0)在一级修正下，被分裂成 3 条能级，简并部分消除。当跃迁发生时，原来的一条谱线就变成了 3 条谱线。其频率一条与原来相同，另外两条中一条稍高于一条稍低于原来频率。 E2 E1 无外电场 有外电场 （f）求 0 级近似波函数 将E2(1)的4个值代入方程组： 四元一次线性方程组: 将E2(1)=E21(1) =3eεa0 代入上面方程： 相应于能级 E2(0)+3eεa0 的0级近似波函数： 将E2(1)=E22(1)=-3eεa0 代入上面方程： 相应于能级 E(0)2-3eεa0 的0级近似波函数： 将E2(1)=E23(1)=E24(1)=0，代入上面方程： 相应与E2(0)+0 的0级近似波函数： * * （一）近似方法的重要性 使用量子力学基本原理解决的简单问题。 （1）一维无限深势阱问题； （2）线性谐振子问题； （3）势垒贯穿问题； （4）氢原子问题。 给出精确解析解。 第10章 微扰论 通常体系的Hamilton量是比较复杂的，往往 不能精确求解。处理理复杂的实际问题时，量 子力学求问题近似解的方法（简称近似方法） 就显得特别重要。 （二）近似方法的出发点 从简单问题的精确解出发， 求较复杂问题的近似解。 （三）近似解问题分为两类 （1）体系 Hamilton 量不是时间的显函数——定态问题 1.定态微扰论；2.变分法。 （2）体系 Hamilton 量显含时间——状态之间的跃迁问题 1.与时间 t 有关的微扰理论； 2.常微扰。 在处理天体运行的天体物理学中，计算行星运行轨道时，就是使用微扰方法。 例如，地球受万有引力作用绕太阳转动，可是由于其它行星的影响，其轨道需要予以修正。在这种情况下，计算所使用的方法是：首先把太阳和地球作为二体系统，求出其轨道，然后研究这个轨道受其它行星的影响而发生的变化。 §10.1 束缚态微扰理论 可精确求解的体系叫做未微扰体系，待求解的体系叫做微扰体系。假设体系 Hamilton 量不显含时间，而且可分为两部分： 为了明显表示出微扰的微