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二、 跃迁概率和速率的计算 一个具体的例子： 利用公式 上式可以写为 可以发现，当 时， 有一极大值 右图为 t 足够长时 概率的变化情况： 而跃迁速率为 式中 是 与 的夹角。 如入射光是非偏振光，光偏振的方向是完全 无规的，此时可把 换为它对空间各方向 的平均值，即 所以 对自然光引起的跃迁，要对上式中各种成分的贡献求和。 利用 * §11.3 周期微拢、有限时间内的常微拢 1、长时间微拢问题 考虑周期微拢 跃迁概率 利用公式 单位时间的跃迁概率（跃迁速率）为 表明：如周期微拢持续时间足够长， 则跃迁速率将与时间无关， 2. 有限常微扰 即常微扰只在一定时间间隔中起作用。 设 其中 为阶梯函数 则在时刻 ，微扰 导致的体系从 态 到 态的跃迁振幅的一级近似为 分部积分，得 当t T后,上式右边第一项为0，利用公式 及 第二项化为 下式 因此，跃迁概率 为 下面我们利用上述结论来讨论散射问题中的一个重要公式 而 随 变化的曲线如下图所示： 二、Fermi黄金规则 对公式 当微扰作用的时间间隔 T足够长 时， 只在 的 一个窄范围中不为0。 见右图。 1. 跃迁速率 利用公式 则有 因此，当 时， 而单位时间的跃迁概率（跃迁速率）为 从公式 中可以看出： ①如常微扰只在 起作用，则只要 足够 长（远大于体系的特征时间），则跃迁速 率与时间无关； ②只有当末态能量 和初态能量 相近的情 况下，才有可观的跃迁发生。而 恰是常微扰作用下体系能量守恒的反映。 ﹟ 2. 黄金规则 前面我们讲过，一级微扰论成立的条件是： 跃迁概率很小，体系有很大概率仍停留在 初始状态。 但在公式 中出现了 函数，与 有关。此时一级微 扰论还成立吗？ 解释： δ函数出现上述公式中只有当能量连续变化的情况下才有意义。 此时我们对所有能量积分时，δ函数就被积分掉，不存在∞问题了。 设 表示体系 的末态的态密度，即在 范围中的末态数为 。 因此，从初态 到 附近一系列可能 末态的跃迁速率之和（求积分）为 上式应用很广，非常有价值，故人们习惯 称之为Fermi黄金规则(golden role). 物理含义容易理解：跃迁速率与能态密度 成正比，与跃迁矩阵元的平方成正比。 利用公式 §11.4 能量与时间测不准关系 一、两个特例 例1 设粒子初始状态为 和 是粒子的两个能量本征态，本 征值分别为 和 ，则有非定态 在此态下，各力学量的概率分布要随时间改变。 比如粒子的空间概率分布 其中 可将 视为测量体系能量时出现的不确定度。 由 可知， 随时间呈周期性变化,其周期为 动量及其它力学量的概率分布也有同样的变 化周期. 故此周期 T 是表征体系性质变化快慢的特征时间，记为 由 有 对定态来说，能量是完全确定的，即 定态的特点：所有不显含时间的力学量概率 分布都不随时间改变，或者说，变化周期为 无穷大，特征时间 。这与关系 是一致的。 ﹟ 例2 此波包所描述的粒子的动量不确定度为 设自由粒子状态用一个波包来描述，波包宽度 ，群速度为 ，相应于经典粒子的运动速度。波包掠过空间某点所需时间为 因此其能量不确定度为 故 上述两个特例给出相同的结论： ﹟ 二、能量-时间测不准关系的严格推导 有 其中 分别表示在给定状态下能量和力学量的不确 定度。 ~ 由前面所学习的测不准关系 ~ 设体系的Hamilton量是 ， 为另一个不含 时的力学量。 利用不显含时间力学量的平均值随时间的变化规律 式 可表为 或 ~ ~ 令 意义： 改变 所需的时间间隔，表征 变化快慢的周期。