量子力学课件全套Ch3量子力学中的力学.ppt

第 三 章 量子力学中的力学量 引言 讲授内容 学习内容 重点掌握内容 3.1 表示力学量的算符 1.坐标与动量的平均值及坐标算符与动量算符的引入 2．表示力学量的算符及其与力学量测量值的关系 3.2 动量算符与角动量算符 1 动量算符 2 角动量算符 （1）轨道角动量算符的定义 （2）Lz 的本征值问题 （3）L2 的本征值问题 3.3 电子在库仑场中的运动 1.有心力场下的 Schrodinger 方程 2. 库仑场中径向方程的解 3．电子的能量本征值与波函数 3.4 氢原子 (一).二体问题的处理 （二）氢原子能级和波函数 3.5 厄密算符本征函数的正交性 3.6 算符与力学量的关系 1．力学量测量值与力学量算符本征值的关系 2．力学量平均值与力学量算符本征值间的关系 3.7 算符对易关系、两力学量同时可测的条件、 测不准关系 1．算符的对易关系 2．力学量同时有确定值的条件 3.力学量完全集合 4．测不准关系 思考题 3.8 力学量随时间的变化 守恒律 1、力学量平均值随时间的变化 第三章 复 习 其中 3.6 算符与力学量的关系（续７） 与动量值 的大小有关，与 的方向无关，由此得到动量 的几率分布 3.6 算符与力学量的关系（续８） 设 和 为两个算符 若 ， 则称 与 对易 若 ， 则称 与 不对易 引入对易子： 若 ， 则 与 对易 若 ， 则 与 不对易 （1）力学量算符的基本对易关系 3.7 算符对易关系　两力学量同时可测的条件 　测不准关系（续１） 证明对易关系式 Ex Prove 设 为任一可微函数 特别地，当 代入上对易式，即证得 同理可证： 3.7 算符对易关系　两力学量同时可测的条件 　测不准关系（续２） prove: （2）对易恒等式 雅可比恒等式 双线性 3.7 算符对易关系　两力学量同时可测的条件 　测不准关系（续３） （3）角动量算符的对易关系 3.7 算符对易关系　两力学量同时可测的条件 　测不准关系（续４） Prove: 等于零 等于零 3.7 算符对易关系　两力学量同时可测的条件 　测不准关系（续５） 定理 prove: 3.7 算符对易关系　两力学量同时可测的条件 　测不准关系（续6） 设 是 和 的共同本征函数完全系，则 设 是任一状态波函数， 若算符 和 具有共同的本征函数完全系，则 和 必对易。 逆定理 prove: 设 是 的本征函数完全系，则 若算符 与 对易，则 （1） （2） 为简单起见，先考虑非简并情况。由（1）、（2）式知， 和 都是 属于本征值 的本征函数，它们最多相差一个常数因子 ，即 可见， 也是 的本征方程的解。因此， 是 的本征函数完全系 若算符 与 对易，则它们具有共同的本征函数完全系 3.7 算符对易关系　两力学量同时可测的条件 　测不准关系（续7） ★ 若两个力学量算符彼此不对易，则一般说来这两个算符表示的两个力学量不能同时具有确定性，或者说不能同时测定。 ★ 两个算符有共同本征函数系的充要条件是这两个算符彼此对易；在两个力学量算符的共同本征函数所描写的状态中，这两个算符所表示的力学量同时有确定值。或者说两个力学量算符所表示的力学量同时有确定值的条件是这两个力学量算符相互对易。 注 3.7 算符对易关系　两力学量同时可测的条件 　测不准关系（续8） ★ 为简单起见，以上定理和逆定理的证明是在非简并情况下证明的；在简并的情况下，结论仍成立（这里就不再证明了） Ex.2 角动量算符 和 对易，即 因此它们有共同的本征函数完备系 。 3.7 算符对易关系　两力学量同时可测的条件 　测不准关系（续9） 同时有确定值。 在 描述的状态中， 在 描述的状态中， 和 可同时有确定值: 　Ex.1　动量算符 彼此对易，它们有共同的本征函数完备系 Ex.5 彼此不对易，故 一般不可能同时有确定值。 Ex.4 坐标算符与动量算符不对易 ，故 一般不可同时具有确定值。 3.7 算符对易关系　两力学量同时可测的条件 　测不准关系（续10） Ex.3 氢原子的算符 彼此对易： 它们有共同的本征函数完备系 故 可同时有确定值: 在 状态中， （1）定义：为完全确定状