不等关系与不等1.docVIP

不等关系与不等式　　知识要点梳理 知识点一：符号法则与比较大小　　1.实数的符号　　　 任意，则（为正数）、或（为负数）三种情况有且只有一种成立。　　2. 两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：　　　 ①两个同号实数相加，和的符号不变：　　　符号语言：；　　　　　　 　 　　　 ②两个同号实数相乘，积是正数：　　　符号语言：；　　　　　　 　 　　　 ③两个异号实数相乘，积是负数：　　　符号语言：　　　④任何实数的平方为非负数，0的平方为0：　　　符号语言：，.　　3．比较两个实数大小的法则：对任意两个实数、　　　 ①；　　　 ②；　　　 ③。　　　 对于任意实数、,,,三种关系有且只有一种成立。　　说明：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系。它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。知识点二：不等式的性质：　　不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分　　基本性质有：　　(1)对称性： 　　(2)传递性： 　　(3)可加性： (c∈R)　　(4)可乘性： a＞b，　　运算性质有：　　(1)可加法则：　　(2)可乘法则：　　(3)可乘方性：　　(4)可开方性：知识点三：比较两代数式大小的方法1、作差法：　　任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小。　　①；　　②；　　③。2、作商法：　　任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小。　　①；　　②；　　③.3、中间量法：　　若且，则（实质是不等式的传递性）.一般选择0或1为中间量. 4、利用函数的单调性比较大小　　若两个式子具有相同的函数结构，可以利用相应的基本函数的单调性比较大小. 规律方法指导　　1、作差比较法的步骤：　　　第一步：作差；　　　第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化为“积”；　　　第三步：定号，就是确定差是大于、等于还是小于0；　　　最后下结论。　　　概括为：“三步一结论”。这里“定号”是目的，“变形”是关键过程。　　2、不等式的性质是进行不等式的变换、证明不等式和解不等式的依据，应正确理解和运用不等式的性　 　　质，弄清每条性质的条件与结论，注意条件与结论之间的关系。　　3、关于不等式的性质的考察，主要有以下三类问题： 　　(1)根据给定的条件，利用不等式的性质，判断不等式能否成立； 　　(2)利用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判断实数或代数式值的大小； 　　(3)利用不等式的性质，判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系 经典例题透析类型一：作差比较大小　　1. 比较下列代数式的大小。　　（1）与， （2）与　　思路点拨: 此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要)。根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小。比较两个代数式大小的问题转化为实数运算符号问题。　　解析：　　（1）∵，　　 　　∴.　　（2）∵，　　　　 ∴ 　　总结升华：　　用作差法比较两个实数（代数式）的大小，其具体解题步骤可归纳为：　　第一步：作差并化简，其目标应是个因式之积或完全平方式或常数的形式；　　第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论；　　第三步：得出结论　　举一反三：　　【变式1】在以下各题的横线处适当的不等号：　　（1） ___ ； 　　（2） ___ ；　　（3） ___； 　　（4）当时， ___.　　【答案】(1)＜； （2）＜ ； （3）＜； （4）＜　　【变式2】比较下列代数式的大小：　　（1）与；（2）与.　　【答案】　　（1）　　（2）　　　　 　　　　 ，　　　　 ∴.　　【变式3】已知(), 试比较和的大小。　　【答案】，　　　　　　 ∵即，　　　　　　 ∴当时，；　　　　　　 　当时，.　　【变式4】已知，比较的大小　　【答案】　　　　　　　　　　　　类型二：作商比较大小　　2．已知：、, 且,比较的大小.　　思路点拨:本题是两指数式比较大小，如果设想作差法，很明显很难判断符号，由指数式是正项可以联想到作商法.　　解析：∵、 ，∴，　　　　　作商： （*）　　　　　(1)若a＞b＞0, 则，a-b＞0, , 此时成立；　　　　　(2)若b＞a＞0, 则, a-b＜0，, 此时成立。　　　　　综上，总成立。　　总结升华：　　1、作商比较法的基本步骤是:　　　 判定式子的符号并作商变形 判定商式大于1或等于1或小于1 结论。