河南科技大学第三届高等数学竞赛卷da2.docVIP

河南科技大?学第三届高?等数学竞赛? （卷二）评分标准 三、解答题（本大题共8?个题，满分为10?0分） 21． （本题满分1?0分） 求极限 解：令 ，原式可以转?化为 ……………4分 即原式 …………………………………3分 …………………………………3分 22． （本题满分1?5分） 设函数在（）上有定义, 在区间上, , 若对任意的?都满足, 其中为常数?. (Ⅰ)写出在上的?表达式; (Ⅱ)问为何值时?, 在处可导. 【】Ⅰ)当,即时, ……………………2分 .…………4分 (Ⅱ)由题设知 . ………………………………………2分 …………………2分 .………2分 令, 得. ……………………2分 即当时, 在处可导. ………………………1分 23.(本题满分1?0分) 求通过点的?直线中，使得为最小?的直线方程?。 解：设过点的直?线为 …………………………2分 ……………………………1分 …………2分 = …………1分 …………2分 故所求直线?方程为 …………2分 24． (本题满分1?0分) 求曲面夹在?二曲面之间?的部分的面?积。 解：该曲面在平?面上的投影?区域为（如右图所示?）………………………3分 所以所求面?积为 ………………2分 =…………2分 ==……3分 25． （本题满分1?5分） 计算 ，其中是沿着?椭圆的正向?从 到的一段弧?。 解：设 ， ……………4分 则 ……………3分 设， ……………2分 ……………3分 ……………2分 ……………1分 26． （本题满分1?0分） 设为可微函?数，且，试求 解：由于，…………………2分 故………1分 ……………………………4分 ……………………………3分 27． (本题满分1?0分) 设在上连续?，在内可导，证明存在使? 【证明】由题设知，在上满足拉?格朗日中值?定理条件， 故存在， 使 ……………………………3分 又，在上满足柯?西中值定理?的条件， 故存在，使 ……………………………4分 即……………………………1分 因此存在使? ………2分 28． （本题满分2?0分） 已知曲线的?方程为 （Ⅰ）讨论的凹凸?性； （Ⅱ）过点（-1，0）引的切线，求切点，并写出切线?的方程； （Ⅲ）求此切线与?（对应于的部?分）及轴所围成?的平面图形?的面积。 解：（I）…………………2分 …………2分 ………………………2分 （II）切线方程为?， ………………………1分 设，， ………………………1分 则 ………………2分 得 ………………………2分 点为（2，3），切线方程为? ………………………1分 （III）设L的方程?则……………1分 ，………1分 由于（2，3）在L上，由 ………………………1分 ………………………1分 ………………………1分 ………1分 …………………………………………1分