高等数学考研训练题典型例解专题个案分析.pdf

JournalofMathematicalMedicine Vo1．22 No．4 2009 文章编号：1004—4337(2009)04—0490—04 中图分类号：G642．46 文献标识码 ：A ·教学研究 · 高等数学考研训练题典型例解专题个案分析 李 荣 江 (西南大学数学与统计学院 重庆 400715) 摘 要： 基于文献[1]中发现的某些不应忽视的问题，给予了专题个案分析，并提出了相应的完善之法。 关键词： 分析； 变换； 通解 ； 特解 首先，这是一个求解一阶微分方程的问题，而不是一个求 解一阶微方程的初值 问题 ，这是因为对题设条件得出的积分 1 引言 1 f 方程÷If()出一 而 两边取x--~0q-0时的极限 近来 ，一些立志考研的学生常来询 问一些高等数学考研 0 培训教材中的某些训练题的求解等诸多问题，其时顺便 随手 ，(0)一厂(O)无法确定唯一初值或任意常数 C。求解的关键是 翻阅了一下他们手中所持有的文献E13，发现其中常微方程部 把由题设条件得出的积分方程化为一阶微分方程，尔后再考 分有一些不应忽视的问题 ，如把求解或解微分方程与求微方 虑用适当的方法求其解。一般言之，求解一个给定的微方方 程的通解混同；判断微分方程的类型重视、明确不够；明明已 程 (组)，首要的是判断其类型，若是已可求解的方程类型(其 是可求解方程类型并且已有求解公式可资利用时而不用；求 时特别注意千万不要忘记交换 自变量 、未知函数的地位后再 解方法粗糙致使产生漏解；任意常数不确定取值范围；求解方 给予判断)，则按其相应解法或充分利用其求解公式直接求解 法不够简明，甚至有时还有失误等等。由于现在立志考研 的 之。否则，则注意观察分析所给方程的特点，作适当的变量变 学生为数不少，所涉及的地域范围亦不小，所 以由此而产生的 换或同解变形化为已可求解的方程类型求解。 影响自然不可小视 ，有必要给予指 出，提出完善之法，以便引 其次，文献 [1]所给解法由于对题设条件所隐含的条件： 起重视，不使这些不应忽视的问题成为影响我们学习学好高 ① 在[O，+oo)上恒有 _厂(z)O 等数学的一个因素。 ② ，()在(0，+。。)上可导 注意重视得不够，因而致使任意常数 c的取值范围确定得不 2 典型个案分析 对，造成所求解 ，(z)的个数有所减少，其完善方法应当是下 个案 1 题设条件中隐含的条件注意重视得不够 ，致使求 述解法 ： 得的一阶微分方程解的个数有所减少 。 解 ：由已知_厂(z)在[O，z]上的平均值等于 厂(O)与 ，(z) 文献E1]P16OE例6．9]设函数-厂()在[O，+c×。)上连续 ，且 的几何平均值 ，得： ，(O)O，已知它在[O，z]上的平均值等于 -厂(O)与 _厂(z)的几