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时频分布 分析非平稳信号主要采用的方法是时频表示，时频表示有两大类； 1 线性的时频表示，如，短时Fourier变换，小波变换、 Gabor变换等； 2 二次型时频表示，如，功率谱、时频分布等。 本节主要讨论时频分布。 时频分布——为时频分析而设计的一种时间和频率的联合函数，它同时描述信号在不同的时间和频率的能量密度和强度。利用时频分布函数可以计算信号在某个频率的能量，平均频率及局部宽度等。 时频分布的典型例子有：Page分布、Wigner-Ville分布、Choi-Williams分布等。 一 Wigner-Ville分布 Wigner-Ville分布的定义 二次型平稳信号 在随机信号信号中，有一种信号本身不是二次平稳的，即它的相关函数是和时间有关的；但是它的二次型信号的相关函数却是和时间无关的（即平稳的），我们把这种信号称做“二次型平稳信号”。 例如：线性调频信号（LEM）。 设线性调频信号（LFM）可以表示为： （1） 其双线性变换的乘积形式为： 将（1）式带入上式，可得到， （2） 计算的时变自相关函数，可以得到， （3） Wigner-Ville分布的定义 可以看到LFM的双线性乘积信号是二阶平稳的，是可分析的。 故对其做Fourier 变换，可以得到下式： （4） 上式反映了信号能量的时频分布，实际上就是最基本的一种关于信号的时频分布函数。由于它最先是由Wigner-Ville提出的，所以也称之为Wigner-Ville分布。 Wigner-Ville分布的特点 因为信号的二次型是信号的能量表示，所以这种分布表示了信号的能量分布。 分析窗无限宽，频率分辨率很高，时频聚集性很好。 存在交叉干扰项。 二次叠加原理 由于时频分布不再是信号的线性变换，所以它不再满足叠加原理。通俗一点说，就是两个信号的和的时频分布不等于每个信号的时频分布的和。 人们经过研究发现了信号的和的时频分布和每个信号的时频分布之间有如下的关系，这一关系式也被称做为二次叠加原理。即， 若有信号 则它的时频分布可用各个分量的时频分布项加上信号分量之间的互时频分布项，即， 其中，，和被称做信号项，也叫做自时频分布项；和被称做交叉项，也叫做互时频分布项。 二 时频分布的一般定义和基本性质要求 时频分布的一般定义 我们知道平稳信号的相关函数和其功率谱之间存在Fourier的关系 对于非平稳信号，借用STFT取窗的概念，定义其局部相关函数： 对此局部函数做Fourier变换，可以得到时变功率谱，也就是信号能量的时频分布： （5） 当取不同的局部相关函数形式，就能够得到不同的时频分布。这就是关于时频分布的一般定义。 值得注意的是，当窗函数时，式（5）即Wigner-Ville分布。 时频分布的基本性质要求 通常希望时频分布具有表示信号能量分布的特性，因此，希望时频分布满足下面的一些基本性质： 实数性： 总能量特性：（信号总能量） 边缘特性： 一阶矩给出信号的瞬时频率和群延迟： 有限支撑特性： 有限时间支撑： 有限频率支撑： 三 模糊函数 定义 定义一个信号的双线性变换乘积的关于的Fourier 变换为模糊函数。 模糊函数的物理意义 回波信号的波形匹配滤波输出时、的二维响应。 最早用于雷达信号分析中，模糊函数主要用于分析：发射信号匹配滤波后的信号分辨性能。由于匹配滤波器的冲击响应与信号的共轭倒置成正比，当雷达把一般目标示为点目标时，回波信号与发射信号相同，但是有时延，频偏。这就使得模糊函数成了雷达信号匹配滤波的输出对、的二维响应。 如何理解模糊函数 它是信号自相关性的反映。 比较一下时频分布和模糊函数： 时频分布——双线性变换到时频面，表示能量分布； 模糊函数——双线性变换到时延频偏面，表示相关。 可以证明二者关系为二维 Fourier变换。 模糊函数的性质（祥见教材34页）。 四 Cohen类时频分布 定义 前面已经提到Wigner-Ville分布，它是窗函数为冲激函数的局部相关函数的傅立叶变换，我们同时知道如果换用其它的窗函数将得到不同的局部相关函数，于是可以产生不同的时频分布。那么这些不同的时频分布是否可以用一种统一的形式来表达呢？60年代，Cohen解决了这个问题，他发现所有的时频分布都是Wigner-Ville分布的变形，于是提出了核函数的概念，并且给出了时频分布 的统一表达式。 核函数：。 时频分布的统一式： （４.1） 该式可以简化为： (4.2) 值得注意的是 ： 不同的时频分布只是体现在积分变换的核函数的不同上，而对于时频分布各种性质的要求则反映在对核函数的约束条件上。 时频分布的基本性质和核函数的关系。 （祥见教材37页） 值得关注的