量子力学 期末考试复习题.doc

　　　　　量子力学考研模拟题(1) 一、（30分）回答下列问题： （1）何谓微观粒子的波粒两象性？ （2）波函数是用来描述什么的？它应该满足什么样的自然条件？的物理意义是什么？ （3）分别说明什么样的状态是束缚态、简并态与负宇称态？ （4）物理上可观测量应该对应什么样的算符？为什么？ （5）坐标x分量算符与动量x分量算符是对易关系是什么？并写出两者满足的不确定关系。 （6）厄米算符的本值与本征矢|n分别具有什么性质？ 二（20分）设氢原子处于 的状态上，求能其量、角动量平方及角动量Z分量的可能取值与相应的取值概率，进而求出它们的平均值。 三、（25分）设厄米算符的本征矢为,构成正交归一完备函数系，定义一个算符 （1）计算对易 （2）证明 （3）计算阵迹 （4）若算符的矩阵元为证明 四、（25分）自旋为，固有磁矩为（其中为实常数）的粒子，处于均匀外磁场中，设t=0时粒子处于的状态。 （1）求出t0时的波函数； （2）求出t0时与的可测值及相应的取值概率。 五、（25分）已知二维谐振子的哈密顿算符为，对其施加微扰后，利用微扰论求基态能量至二级修正、第二激发态能量至一级修正。 六、（25分）设粒子处于Ylm(?,?)态,求该态中Lx, Ly, Lz的平均值. 量子力学自测题(1)答案 一、（30分）回答下列问题： （1）何谓微观粒子的波粒两象性？ 解 微观粒子既不是粒子，也不是波。更确切地说，它既不是经典意义下的粒子，也不是经典意义下的波，但是，它即具有经典粒子的属性（具有确定的质量、电荷与自旋），又具有经典波动的属性（具有干涉及衍射现象）。严格地说，微观粒子就是微观粒子，粒子与波只是微观粒子的两种不同属性。如果硬是要用经典的概念来理解它的话，那么，微观粒子既具有经典粒子的属性又具有经典波动的属性，是经典粒子与经典波动这一矛盾的综合体。 （2）波函数是用来描述什么的？它应该满足什么样的自然条件？的物理意义是什么？ 解 波函数是用来描述体系状态的复函数，除了应满足平方可积的条件之外，它还应该是单值、有限和连续的。表示在ｔ时刻附件ｄτ体积元中粒子出现的概率密度。 （3）分别说明什么样的状态是束缚态、简并态与负宇称态？ 解 当粒子在坐标趋向无穷远时，描述粒子状态的波函数趋向零，称之为粒子处于束缚态。若一个本征值对应一个以上不同的本征态，则称该本征值是简并的，所对应的本征态即为简并态，本征态的个数就是相应的简并度。将波函数中的坐标变量改变一个负号，若得到的新波函数与原波函数相差一个负号，则称其为负宇称态。 （4）物理上可观测量应该对应什么样的算符？为什么？ 解 物理上可观测量对应线性厄米算符。线性是状态叠加原理要求的，厄米算符的本征值是实数，可与（实数）观测值比较。 （5）坐标x分量算符与动量x分量算符是对易关系是什么？并写出两者满足的不确定关系。 解 对易关系为不确定关系为Δx·Δ。 （6）厄米算符的本值与本征矢|n分别具有什么性质？ 解 本征值为实数，本征矢构成正交、归一和完备的函数系。 二（20分）设氢原子处于 的状态上，求其能量、角动量平方及角动量Z分量的可能取值与相应的取值概率，进而求出它们的平均值。 解 选为描述体系的力学量完全集，氢原子的本征解为 (r,)= 其中量子数的取值范围是 n=1,2,3,……； =0,1,2,……，n-1；m=,-1, -2,……，-+1,- 利用归一化条件求出归一化常数为 氢原子的能量只与主量子数n有关，依题题可知，n的可能取值有两个，即n=2,3,于是 ； ； 角动量量子数l的可能取值只有一个，即 l=1,故有 角动量磁量子数m的可能取值有两个，即m=-1,0,于是 ； ； 三、（25分）设厄米算符的本征矢为,构成正交归一完备函数系，定义一个算符 （1）计算对易 （2）证明 （3）计算阵迹 （4）若算符的矩阵元为证明 解 （1）对于任意一个态矢，有 故 （2） （3）算符的阵迹为 （4）算符 而 四、（25分）自旋为，固有磁矩为（其中为实常数）的粒子，处于均匀外磁场中，设t=0时粒子处于的状态。 （1）求出t0时的波函数； （2）求出t0时与的可测值及相应的取值概率。 解 体系的哈密顿算符为 在泡利表象中，哈密顿算符的本征解为 （1）在t=0时