一类矩阵秩的恒等式及推广.doc

编号 莆田学院 毕 业 论 文 课题名称：一类矩阵秩的恒等式及推广 系 别 数学系 学生姓名 学 号 专 业 数学与应用数学 年 级 03级 指导教师 2007年 月 目 录 0 1 1 预备知识 1 2 推导过程 2 3 主要结论 12 4 结束语 17 参考文献 18 致谢 19 一类矩阵秩的恒等式及推广 不等式化为等是当前研究的重点．本文利用矩阵初等变换对应到矩阵，使得当在满足一定的条件时，有 【关键词】：秩；矩阵；初等变换；分块阵 A Class of Matrix Rank Identities and Their Generalization Abstract Changing the inequality into equality under what condition is the current research key point. This paper uses the and its elementary operation corresponds the partitioned matrix, prove that when satisfy the certain condition, we have ． 【key words】;matrix ; elementary operation ; partitioned matrix 莆田学院学士学位毕业设计（论文） 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果．除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果．对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明．本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担． 学位毕业设计（论文）作者签名： 日期： 年 月 日 莆田学院学士学位毕业设计（论文） 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是在本人的指导下，独立进行研究工作所取得的成果．除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果．对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明． 指导教师签名： 日期： 年 月 日 0引言 不等式推广研究的一个重点是如何将不等式化为等式． 在厦大06年的考研试卷中有这样一道试题 的充分必要条件是 以及北师大的两道习题 与 的充分必要条件分别是 与 ，而这三题刚好是不等式中不等号化等号的特例．沿着这一研究方向，特别是在参考李书超与王廷明的关于一类矩阵秩的恒等式及证明的基础上，本文对不等式中不等号化等号的推广式进行了证明，在一定程度上改进王廷明的证法，具有更直观更具体意义上的效果． 　　本文在引入　、与 、在实数域上分解，并且各自对他们所构成的对角阵进行初等变换后得出定理１这个结果及其他定理和推论． 1预备知识 定义1 设，则 ． 关于定理的证明方法很多，我们可以参考文献[1]． 矩阵有初等变换．下面变换叫做矩阵的初等变换： （）矩阵的两行（列）互换位置，记为 （）； （）矩阵的某行（列）乘非零常数k, 记为 （）； （）矩阵的某行（列）加上另一行（列）的倍, 记为 （） 而对应分块矩阵的初等变换如下： （）对调矩阵的两行（列），记为 （）： （）矩阵分块行（列）乘非退化矩阵, 记为 （）； （）将矩阵的某一行（列）的所有子矩阵左乘一个矩阵加上另一行（列）, 记为 （）； 引理 任意一个非零的的矩阵都等价于下列形式的矩阵其中． 推论1 ，当 为两两互异的数时，有 与 等价 此结论的证明由引理1显然可得． 符号说明 (i) R（A）代表矩阵 A的秩； 代表对角矩阵 A；推导过程 北京大学数学系几何与代数小组编的《高等代数》（第三版）中有两道习题： 习题1：设,则 的充分必要条件是 习题2：设,则 的充分必要条件是 通过构造和分块矩阵并分别对他们进行初等变换如下： 证明 （习题1）构造矩阵 和 ，对它进行初等变换得 相对应的，对 ，对它进行初等变换