关于一类矩阵秩的恒等式猜想的注记.doc

编号 莆田学院 毕 业 论 文 课题名称：关于一类矩阵秩的恒等式猜想的注记 系 别 数学系 学生姓名 学 号 专 业 数学与应用数学 年 级 03级 指导教师 2007 年 6 月 目 录 摘 要 II Abstract III 原创性声明（学生） IV 原创性声明（指导老师） V 0 引言 1 0.1 记号说明 1 0.2 研究现状 1 1 预备知识 2 2 主要定理及证明 2 3 猜想1与猜想2的解决 8 4 猜想的应用 9 参考文献 12 致 谢 13 关于一类矩阵秩的恒等式猜想的注记 摘 要 采用分块矩阵，初等变换以及数学归纳法，证明了文献[1]中提出的猜想并对这个猜想进行推广。探讨Sylvester不等式的等号成立问题，从而得到矩阵秩的和与矩阵乘积的秩两者之间的关系。 【关键词】分块矩阵 初等变换 矩阵秩 The Remark to The Speculation of A Class of Matrix Rank Identities Abstract By using the block matrix, the elementary transformation as well as the mathematical induction, we had proven the speculation in the literature [ 1 ] and generalized the it .We discussed the question that made the Sylvester inequality be equal, thus obtained the rela- tionship between the sum of the rank of matrix and the rank of the product of matrix. 【Key Words】 Block matrix; Elementary transformation; Matrix rank 莆田学院学士学位毕业论文 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位毕业设计（论文）作者签名： 日期： 年 月 日  莆田学院学士学位毕业论文 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是在本人的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 指导教师签名： 日期： 年 月 日 引言 0.1 记号说明 本文使用以下记号： 表示矩阵的秩； 表示矩阵是数域上的阶矩阵； 表示矩阵是复数域上的阶矩阵； 表示数域上多项式环； 表示相应阶数的单位矩阵. 0.2 研究现状 本文所研究是矩阵秩的恒等式问题。众所周知，Sylvester不等式是矩阵秩的一个著名的结果，在求矩阵秩的相关问题中处于重要的地位，我们感兴趣的是其不等式何时取等号。如果Sylvester不等式能取等号，这将是一个很好的公式。 文献[1]将Sylvester不等式中的矩阵限定为的形式，给出矩阵秩的一些恒等式结果并提出下列猜想： 猜想1 设，，当满足适当条件时，则 猜想2 设且，，当满足适当条件时，则 其中是关于的多项式。 2007年文献[2]将讨论的数域限制在复数域上，然后利用矩阵的Jordan标准形的性质证明了猜想1是正确的。Jordan标准形是个很好的研究工具，但是它也存在局限性即Jordan标准形仅在复数域中有效。本文讨论的数域将不作限制，采用分块矩阵的性质及初等变换证明猜想1成立，进而证明猜想2亦成立，并对相关的矩阵的恒等式作进一步推广。 1 预备知识 引理1[3]（著名的Sylvester不等式） 设则 引理2[3] ① 初等方阵从左边乘以矩阵A相当于对A作初等行变换. ② 初等方阵从右边乘以矩阵A相当于对A作初等列变换. ③ 初等变换