关于体上二次矩阵的性质的探讨.doc

莆 田 学 院 毕 业 论 文（设 计） 题 目关于体上二次矩阵的定义及性质的探讨 学生姓名 学 号 专 业 数学与应用数学（师范） 班 级 数学061 指导教师 二0一0年四月二十六日  目 录 0 符号说明及引言………………………………………………（1） 1 预备知识 ……………………………………………………（2） 2 主要结果 ……………………………………………………（4） 2.1体上二次矩阵的定义 ………………………………………（4） 2.2体上二次矩阵的可对角化性质 ……………………………（5） 2.3体上矩阵的秩等式及二次矩阵的充分条件 ………………（7） 结束语 …………………………………………………………（10） 致谢 ……………………………………………………………（11） 参考文献 ………………………………………………………（11） 关于体上二次矩阵的性质的探讨 （莆田学院数学系 指导教师：杨忠鹏） 摘要：本文在给出体上二次矩阵的定义的基础上，讨论了体上二次矩阵的相关性质，包括体上二次矩阵与体上幂等矩阵的关系，体上二次矩阵的可相似对角化的充分条件，体上二次矩阵的秩等式，及体上二次矩阵的充分条件。本文主要应用现有的体上矩阵的基本理论及研究方法。 关键词：体 二次矩阵 初等变换 幂等矩阵 秩 Abstract:On the basis of giving the definition of quadratic matric on arbitrary division ring, this paper discusses the related properties of quadratic matric on arbitrary division ring,including the relationship betwin the quadratic matric on arbitrary division ring and the idempotent matric on arbitrary division ring, Keywords:division ring quadratic matric Elementary transformation idempotent matric rank 0 符号说明及引言 设为任意体（除环），表示体上矩阵的集合，为体上阶单位阵，为体上矩阵的秩, 表示体的中心，为实数域，为体上所有阶幂等矩阵的集合。 早在20世纪60年代初，著名数学家华罗庚、万哲先院士在其专著《典型群》序中就明确指出：“体上的矩阵是一个值得注意的对象，因为它是一个不太失去普遍性的抽象事物，但同时又和成果丰富的具体的域上的矩阵距离不远。”他们在典型群及矩阵几何方向上取得了举世瞩目的成就。体与域的本质距离在于其上的元素是否一定满足乘法交换律，而这种距离使得体上矩阵的研究困难重重，但又使得体上矩阵理论自成一体，非常丰富。 在中国，体上矩阵的研究中，较早的文献有文[2],谢邦杰教授所著的《抽象代数学》，较系统的文献有文[3]庄瓦金教授所著的《体上矩阵理论导引》。文[1]给出了体上矩阵的一些基本定义及定理，为体上矩阵理论的研究及一类重要的四元素矩阵的研究打下了坚实的基础。文[2]在关于体上的若干准备后，阐述了体上矩阵的三大基本关系：相抵、相似、合同，且进一步研究了四元素矩阵的相关性质。文[2]几乎囊括了现有的体上矩阵的基本理论，而关于体上一类特殊矩阵的研究，体上的幂等矩阵的性质的研究等，这类文献也有很多。 文[1]主要定义了复数域上的二次矩阵，即矩阵，若它满足，其中,I为n阶单位阵，我们说矩阵为二次矩阵。并在此基础上讨论了二次矩阵的相关性质。值得注意的是二次矩阵具有高度的概括性，当系数取不同的值时，它包括了幂等矩阵、幂零矩阵等多种情形。例如： 幂等矩阵 幂零矩阵 在域上二次矩阵与幂等矩阵有着紧密的联系已知，满足， 当且仅当存在一个幂等矩阵Z使得，显然为幂等矩阵。这些都说明了域上二次矩阵的相关性质的研究的重要性。而在体上这仍是一块空白，填补这块空白无疑是相当有意义的，但须小心谨慎的把二次矩阵推广到体上，给出较为合理的定义，并在此基础上继续研究其性质。 文[4]、文[5]、文[6]为体上矩阵的秩的研究包括幂等矩阵的秩，这些研究成果及讨论的思想方法都有利于本文的探讨。结合文[2]、文[3]的基本结论给出体上二次矩阵的定义并研究体上的二次矩阵的相关性质。 1预备知识 下面先给