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关于多项式矩阵秩的恒等式及其推广 孙季华 （莆田学院数学系 指导老师：杨忠鹏） 摘要：本文主要从胡付高[1]的一个定理出发，把定理的条件加以弱化，推导出更一般的关于多项式矩阵秩恒等式的结论，利用矩阵的秩和线性变换的秩关系简单的证明了线性变换在互素多项式下直和分解的结论，同时对[5]的一个猜想给出了证明。 关键词：互素 线性变换 直和 核 二次矩阵 Abstract：This paper deduces a more general conclusion about rank identities of the polynomial matrix, which is based on a theorem of hu fugao.and the condition of the theorem has been weakened.Acorrding to the relations between the rank ot the matrix and the rank of the linear transformation,the conclusions of the direct sum decomposition of the linear transformation under the relatively prime polynomials has been proved easily.Meantime the conjecture of the literature[5] has been proved. Keywords: relatively prime linear transformation direct sum nucleus quadratic matrix 0符号说明及引言 矩阵的秩的研究是高等代数的一个重要内容，本文在参考文献[1]的一个定理出发对多项式矩阵的秩做进一步的讨论，结合矩阵的知识，分块的初等变换法得到一个更为精确的结论，本文更重要的是利用矩阵和线性变换的秩关系，从而更加简单的证明了线性变换在互素多项式下直分解的结论，并加以推广得到相关的结果，本文进一步对文献[5]的一个尚未解决的猜想给以提出来并加以证明。 用P表示数域、分别表示数域P上一元多项式和n阶矩阵的集合，表示矩阵A的秩，E表示单位矩阵，约定与分别表示首项系数为1的最大公因式和最小公倍式。表示复数域上所有n阶矩阵的集合， 表示线性变换，= ，表示线性变换的值域，表示的维数。 预备定理 我们首先引入本论文用到的基本定理 引理1.1（见[10]，第16页）中的两个多项式互素的充分必要条件是存在中的多项式使。 引理 1.2 （见[10]，第48页）设，首项系数都为1则 引理1.3 设，，则 证明 ：由引理1.1可知，存在多项式使得将上面两式相乘得 再由引理1.1得 引理 1.4，则其中 证明：由引理1.3，，，反复引用引理1.3可得。在反复引用引理1.3可得 因为，由引理1.1存在，使得，即再由引理1.1得 引理1.5知，两两互素且，令，，则 证明：设，只需证明即可，则因为两两互素根据引理1.3得=，即，所以且同理，，又引里1.3得，因为，，所以，， 显然故所以。 引理1.6是的一些子空间，，，则是直和。 证明：，都有 于是。零向量表示法唯一，若零向量表示法不唯一则有 。于是 这与矛盾 所以零向量的表示法是唯一的，由直和的定义推出 引理1.7设是n维线性空间V的线性变换，则的一组基的原像及的一组基合起来就是V的一组基，且有 二．主要结果 定理2.1设且，则 证明:设 （1.1） 因为， （1.2） 所以 （1.3） ， （1.4） （1.5） 由试（1.1）~（1.5）对矩阵做分块的初等变换 = == = = = = 则 又引理1.2知= 所以 推论设，若，令,则 定理2.2 设，则 证明： (1.6) 因为 所以 (1.7) 所以 （1.8） 由（1.6）~（1.8）对矩阵做分块的初等变换 = = = = =则 由引理1.2知所以 推论设，且，则 推论设，而分别是与的最大公因式和最小公倍式又设，则 （1.9） 证明 由知，存在，使得且，又有公式，得。故有推论得 由此既得（1.9）成立 推论2.2.3设，，且，则 证明：由推论既得推论2.2.3成立 推论2.2.4设，且两两互素。，又设.则。 证明: 因为两两互素，所以由引理1.4得，即也两两互素，下面用数学归纳法来证明 时显然成立. 当时由推论2.2.3显然成立. 假设时成立 当时由于两两互素所以有推论2.2.3得 得 可见当时等式成立，所以上述定理成立。 推论2.2.5设，，