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基于双线性系统、差分方程的人口增长模型 摘 要 社会经济的许多领域的规划都必须考虑人口这一重要因素。而人口普查只能为我们提供某几个时间点的横截面数值，但在现实生活中，人们常常需要其他时间点的人口总数及其构成。于是一个迫切的任务就是如何用少数的几个时点的信息比较准确的得到较详尽的其他时点的人口数据。 人口系统发展是一个动力学过程，为强惯性系统，人口死亡率和出生率构成人口增长的双线性系统。 针对中短期预测，基于统计理论，将5年的死亡出生率，死亡率求期望，建立了人口增长的定常差分方程模型，预测至2015的人口发展趋势，通过MATLAB求解得到2015年的总人口为14.17亿，乡村城镇化趋势明显；并且人口在2025左右出现峰值，约为15.1亿。 针对长期预测，根据动力学发展过程理论，当时间尺度接近惯性系统的时间常数（社会人口的平均寿命）时，人口状态将发生明显改变。由此建立了人口增长的时变差分模型。并通过MATLAB求解，预测2050年的人口总数为14.33亿，人口系统达稳定状态。 然后，利用Leslie矩阵分析模型的稳定性。当时间t（年）充分大时人口增长也趋于稳定。针对长期模型的检验，对不同的总和生育率做出了人口总数的变化曲线。得出当总和生育率的更替水平临界值略大于2.0。 关键词：差分方程，强惯性系统，Leslie矩阵，总和生育率 一.问题重述与分析 1.1问题重述 中国乃泱泱人口大国，人口规模是城市规划和土地利用总体规划中一项重要的控制性指标，人口规模是否合理，不仅影响到未来地区经济和社会发展，而且会影响到地区生态环境可持续发展。 因此准确地预测未来人口的发展趋势，制定合理的人口规划和人口布局方案具有重大的理论意义和现实意义。 根据国家人口报告，对短期、中期和长期人口预测作如下定义：十年内为短期，十到十五年为中期，五十年及其以上为长期。 人口发展过程是一个很缓慢的过程。它的“时间常数”接近平均期望寿命约七、八十年的时间。人口状态随时间变化的过程称为人口发展过程。 目前，中国人口发展出现了新的特点，突出表现为老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些因素都影响着中国人口的增长。 要能有利于人口与经济的社会的协调发展，必须将人口总量峰值控制15亿人左右，全国总和生育率在未来30年应保持在1.8左右。同时，近年的低生育水平反弹势能大，维持生育水平代价高，这就必须创新工作思路、机制和方法。在确定人口发展战略时，必须着眼于人口本身的问题，处理好人口与经济资源环境之间的相互关系。构建和谐社会，又要优先投资人的全面发展。 1.2问题分析 本题是一个人口发展预测的问题。人口发展与一般种群增长一样，是由自然增长率决定的。然而，人类个体是一种社会的个体，所以人口发展有自己的特点。想到人口的迁移，性别比例等。人口发展受政策的影响，例如计划生育；也要受到人们意识的影响，像生育意识等。但是从社会层面上看，生育意识在整个社会上体现为妇女的生育模式。 首先，数据的处理。在经过分析和验证后，适当修正题中的个别有误数据后，利用有效数据进行建模求解。我们要提取出死亡率、生育率等，这是求解人口增长模型的必要数据。 其次，模型建立。和一般的预测模型一样，本模型也是个预测模型，所以考虑到用前一年的信息来推得下一年，于是我们想到差分方程模型。同时，将死亡率与出生率分开，分别与当年的人口相乘，于是得到一个双线性的模型，即死亡与出生都与当年的人口成线性关系。 最后，利用已有信息，对中短期与长期进行预测，得出反映人口发展与人口构成的关键指数。 二.符号系统 符号 意 义 单位 年度总人口数 万人 年度岁的人口总数 万人 年度岁的女性人数 万人 年度岁的男性人数 万人 年度岁的妇女平均每人一年生育的子女数 万人 年度人口的平均年龄 岁 年度岁的年龄死亡率 _ 年度男女性别比 _ 年度岁的女性比例 _ 年度人口相对出生率 _ 年度自然增长率 _ 三.模型假设 中国的市、镇、乡三个系统的整体封闭，不考虑国际上人口流动； 十年内为短期，十到十五年为中期，五十年及其以上为长期； 婴儿出生年份过了年底12月即为一岁； 90岁及其以上年龄的人在模型建立和求解中，都按90岁考虑； 四.模型分析与建立 4.1 模型分析 为了对我国中长期和长期人口进行预测，必须考虑我国人口的实际特征，传统的指数模型，logistic模型都不能够得到令人满意的结果，因而必须建立适合中国人口增长的数学模型，宋健模型对于预测中国的人口增长具有借鉴作用。 在建立人口增长模型时，首先不考虑国际人口流动，即假设中国为一封闭的大系统，但由于我国人口地区分布的特征不能简单的用一个笼统的模型进行概括，所以可以假设市，镇，乡为独立的系统，通过