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广义逆矩阵与线性方程组的求解 The solution of linear equations by the generalized inverse matrix 专 业: 数学与应用数学 作　　者: 指导老师: 学校 二○一  摘 要 本文首先对矩阵的广义逆进行定义及其分类然后详细讨论Moore-Penrose 逆的存在性与唯一性的证明、左逆与右逆的性质与求解. 通过对广义逆矩阵的求解方法的研究最后探讨矩阵的广义逆在解线形方程组中的应用. Abstract This article first to define the generalized inverse matrix and its classification, and then mainly on some important properties of generalized inverses and solution of a detailed discussion, including a minus sign for solving inverse, Moore-Penrose inverse of the existence and uniqueness of proof, the left inverse and right inverse of the nature of and solution and so on. On these important properties of generalized inverse matrix of the theory and method, the last of the generalized inverse matrix in the solution of linear equations. Keywords: generalized inverse matrix； linear equations； compatibility equations； general solution  目 录 摘 要 I Abstract II 0 引言 1 1 矩阵的几种广义逆 1 1.1 的定义与计算 3 1.5 加号逆的性质及计算 4 1.6 左逆与右逆的定义 5 2 用广义逆矩阵求解线性方程组 7 2.1 左右逆的应用 7 2.2 相容方程组的通解与的应用 8 2.3 的应用 11 参考文献 14 0 引言 广义逆矩阵是通常逆矩阵的推广, 推广的必要性, 首先是从线性方程组的求解问题出发的, 设有线性方程组 （0.1） 当是阶方阵, 且 时, 则方程组（0.1）的解存在, 并唯一. （0.2） 但是, 在许多实际问题中所遇到的矩阵往往是奇异方阵或是任意的矩阵 （一般）, 显然不存在通常的逆矩阵, 这就促使人们去想象能否推广逆的概念, 引进某种具有普通逆矩阵类似性质的矩阵, 使得其解仍可以表示为类似于式（0.2）的紧凑形式? 即 （0.3） 1920年摩尔（E.H.Moor）首先引进了广义逆矩阵这一概念, 其后三十年未能引起人们的重视, 指直到1955年, 彭诺斯（R.Penrose）以更明确的形式给出了Moore的广义逆矩阵的定义后, 广义逆矩阵的研究才进入了一个新的时期, 由于广义逆矩阵在数理统计、系统理论、最优化理论、现代控制理论等许多领域中的重要应用为人们所认识,因而大大推动了对广义逆矩阵的研究, 使得这一学科得到迅速的发展, 已成为矩阵的一个重要分支. (见参考文献[1][2]) 1 矩阵的几种广义逆 1955年, 彭诺斯（R.Penrose）指出, 对任意复数矩阵, 如果存在复矩阵,满足 (1.1) (1.2) (1.3) (1.4) 则称为的一个 Moore—Penrose 广义逆, 并把上面四个方程叫做 Moore—Penrose 方程, 简称 M—P方程. 由于 M—P 的四个