计算方法(九)矩阵特征对的数值解法精选.ppt

* 第九章 矩阵特征对的数值解法 幂法、反幂法：求极端特征对 本章考虑全部特征对解法！ 9.1 求特征方程根 求三对角矩阵（Jacobi 矩阵）的特征对 特征多项式为 按最后一列展开，得 可以证明， 和 的根都是实单根，满足 序列 的变号数 定义为在 的变号数。遇到 时， 去掉。例如， 则 定理9.1 的变号数 就是三对角矩阵 在 上的特征值个数。进而，若 在区间 则 上的特征值个数为 线性代数中如下结果可用于估计特征值所在区间： 1）矩阵 的迹 = 的特征值之和 2） 3）圆盘定理： 的特征值均位于以下 个圆盘的并集中： 特别地， 个圆盘的相交部分中必有 个特征根， 孤立的圆盘中必有一个特征根。 求Jacobi矩阵 之特征对的攻略： 1）综合利用变号数、圆盘定理等确定有根区间。 2）在有根区间上用二分法或Newton法求 的根 。 3）用反幂法求 的特征向量 例1. 求在（0，3.5）中的全部特征值： 解. 先计算变号数。由 得 从而 即在[0,3.5] 上有两个根。进一步，可以算出 因此，在（0,1.5）和（1.5，3.5）上各有一个根。可以用二 分法求出： 上有单根。 上有单根。 …… 上有单根。 上有单根。 9.1.2 对称矩阵化为Jacobi矩阵 定义. 次对角线以下元素都为零的准上三角矩阵称为 Hessenberg矩阵（H阵）。若次对角元素皆非零，则称为 不可约Hessenberg矩阵。 对方阵 可以通过Household变换化成H阵： 选取 其中 使得 于是， 如此进行 步之后，得到Hessenberg矩阵 特别地，当 是对称矩阵时， 成为Jacobi阵。 可以用变号数方法以及二分法等等求解。 *