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工程硕士复习 上海交通大学应用数学系 张 忆 第一讲 函数极限 第一讲 函数极限 第一讲 函数极限 第一讲 函数极限 第一讲 函数极限 第一讲 函数极限 第一讲 函数极限 第一讲 函数极限 第一讲 函数极限 第一讲 函数极限 第一讲 函数极限 第一讲 函数极限 第一讲 函数极限 第一讲 函数极限 第一讲 函数极限 第一讲 函数极限 第一讲 函数极限 第一讲 函数极限 第一讲 函数极限 第一讲 函数极限 第一讲 函数极限 第一讲 函数极限 第一讲 函数极限 第一讲 函数极限 第一讲 函数极限 第一讲 函数极限 第一讲 函数极限 第一讲 函数极限 第一讲 函数极限 第一讲 函数极限 例1 A、跳跃 B、可去 C、无穷 D、振荡 ∴ x=0为第一类可去间断点。 x=0是 的（B）间断点 ∵ 例2 P50 例1.36 指出函数的间断点并讨论间断点类型，如有可去间断点， 指出如何补充或改函数的定义使它连续。 例3 解： f(x)的间断点为x=0，x=-1，x=1 ∴ x=0 为f(x)的跳跃间断点，不可去。 ∴ x=1是f(x)的第一类 ∴ x= -1是f (x)的第二类间断点。 ∵ ∵ ∵ 可去间断点，若补充定义f(1)=1/2 ，就使f(x)在x=1连续。 例4 解： x = 0, x = 2 为第二类间断点 x = 1 为 第一类可去间断点，补充定义使 f(1) = ?1 例5 设函数 A、不存在间断点 B、存在第一类间断点 C、存在间断点x = 0 D、存在间断点 x = ?1 解：选 B x = 0 为第一类跳跃间断点，不可去。 ，讨论函数间断点其结论为 * * §1 函数 一、定义 P183 例 1 , 为相同的函数。 例2 设f(x)在（-∞,+∞）有定义，且满足2f(x)+f(1-x)=x2 试求 f(x)的表达式。 即： 从 得： 2 2 y y x x e e x e e y - - - = - = 与 证：令 例3 已知: ,且 求: 解： ∵ ∴ 据题意有 又 ： 从而有 定义域： 即 x≤0 且写出它的定义域 例4 如f(x)的定义域为[0，1]，则f(x+a)+f(x-a) 定义域[a,1-a] 例5 求: 函数 的反函数 ① ② ∴ 反函数 解： ① - ② ) (0a 二、函数的几种特性（P183） 1、单调性：f(x)区间I上有定义， 为I上任意两点。 ， 如恒有 则 称f(x)在I上单调增加（减少） 设 例 P536 考题 6 2、有界性 设 函数y=f(x)在区间I上有定义。如存在M0，使得 则称f(x)在区间I上有界，否则称f(x)在I上无界。 例 P184 练习一：3、4 3、奇偶性：设f(x)的定义域Z关于原点对称，如恒有: f(-x)=f(x) x∈Z，称f(x)为偶函数，图形对称y轴 f(-x)=-f(x) x∈Z，称f(x)为奇函数，图形对称原点 例1：证明： 例2：已知： 为奇函数，且当 时， 求： 在 时的表达式 解： ， 为奇函数 第一讲 函数极限 4、周期性 设函数f(x)的定义域为X，如存在常数T≠0,使得x∈Z时， 必有x±T∈Z,且恒有f( )=f(x+T), x∈X,则称f(x)为周期函数, 使上式成立的最小正数T为该函数的周期。 三、初等函数 1、基本初等函数 (P183) (1) 常函数y=c(-∞，+∞)偶函数; (2) 幂函数 定义域随u不同而不同, (3) 指数函数 过（0，1） 是指数函数 (4) 对数函数 反函数 常用性质 ( ) ( ) 0 , 1 , 0 +￥ ￥ - 1 = x x a a a a y 　　 　　 　　 (5)三角函数 y=sinx, y=cosx, y=tanx, y=cotx, y=secx, y=cscx 常用公式： ， ， 降幂公式： ， ， 例 ∴ 的周期为π。 (6) 反三角函数 y=arccosx (-1≤x≤1, 0≤y≤π) y=arccotx (-∞ x +∞, 0 y π) 都有界 y=arctanx (-∞ x +∞, y ) - ) ≤y≤ - (-1≤x≤1, y=arcsinx x∈ ∈(0,+∞),