real-analysis-class11 实变函数论应用数学讲义.pdf

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2018-01-29 发布于浙江
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real-analysis-class11 实变函数论应用数学讲义

實變函數論─應用數學系吳培元老師 Class 11 Chap. 2. Integration (X , a , u) measure space X a 0 Def f :X 0  measurable if openM  , f 1 (M ) a.    1 a 1  1  a f :X 0 [ , ] measurable if openM , f (M ) f ( ),f ( ) . Note. In probability, means. func. random variable Thm.f :X 0 . The following are equiv.: (1) f measurable 1  (2) f ((,c )) a c  ; 1  (3) f ((-,c ]) a c  ; (4) f 1((c , )) a c ; (5) f 1([c , )) a c  ;  (6) f 1(B ) a Borel setB  ;  Pf. (1) (2) trivial Note: X f 1(A ) Y (2) (3) A -1  -1 1 f ((,c ]) f ((,c  )) a n 1 n f (3) (4) 1 f preserre  , ,\ etc. f 1((c , )) X 0 \ f 1((,c ]) a (4) (5) Def.f 1 (A ) x X : f (x ) A .    1 f 1([c , )) f 1 ((c  ,)) a inverse image of A under f . n 1 n