real-analysis-class14 实变函数论应用数学讲义.pdf

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2018-01-29 发布于浙江
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real-analysis-class14 实变函数论应用数学讲义

實變函數論─應用數學系吳培元老師 Class 14 Sec. 2.4. Convergence in measure Def. f a.e. real-valued measurable, f measurable   n f f in measure if   0, limu ( x : f (x ) f (x )  ) 0 n  n  n or 0, 0, N n N u( x : f (x) f (x) )               n   Properties: (1)f n f ,g in measure f g a.e.  1  Pf: x : f (x) g (x)  x : f (x) g (x)   m  m  ||| ||| E E m  1   1  E  x : f f   x : f g  n m m  n   n   2m   2m  1 1 1 (Reason: f g f f f g )          m n n 2m 2m u(Em ) 0 m u(E) 0 (2)f n f in measure f real-valued a.e. Pf: Let E  x : fn (x)  n Then u(E) u( x : f ( x) ) 0 n n Fix   0 x : f (x)   ((X \ E )  x