real-analysis-class21 实变函数论应用数学讲义.pdf

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2018-01-29 发布于浙江
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real-analysis-class21 实变函数论应用数学讲义

實變函數論─應用數學系吳培元老師 Class 21 Sec.2.9. DCT (dominated convergence thm) Class 21 Sec.2.9. DCT (dominated convergence thm) Question 1: f f , f integrable f integrable; n n  Question 2: f f , f ,f integrable  f  f . n n   n  Thm. f ,g integrable.   n f n f in meas. or a.e. f n g a.e. n in mean. ( f f ) f integrable f n f    n Note: a.e. or in meas. need extra condi. on f f integrable f  f     n n condi 1. f Cauchy in mean.   n condi 2. DCT:  a.e.  , where integrable f n g n g condi 3. MCT: 0 f f a.e. n 1 1   Ex.1  if x 1 Ex 1.f n (x ) x n forx  [0,1]  0 otherwise  Then f n integrable But f n (x) f (x ) a.e. in meas., butf not integrable (Ex.2.7.6)  0 1 1 1 1 1 3 2  if 0 x  x n  0