real-analysis-class25 实变函数论应用数学讲义.pdf

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2018-01-29 发布于浙江
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real-analysis-class25 实变函数论应用数学讲义

實變函數論─應用數學系吳培元老師 Class 25 Thm. Assume u (E)  for E a   (E)  Then   u   abso. conti. w.r.t. u (according to Def. 2.8.1 on p.52)  Pf:  0,  0 E a  u (E )    (E )    Assume u (E ) 0   (E )    0, i.e.,  u  Assume contrary. 1 1 Then  0,   0  a  ( )  ( )   E u E  E    n n n 2n 2n   Let E limEn  En k n k 1 Check: (1) u (E) 0 (2) (E)  (Then, u  u )          1 1 (1) u (E)  u ( E )  u (E )  k  n  n  n k -1 n k n k n k 2 2  u (E) 0 (2)  (E ) lim  (En )  (Thm. 1.2.2)  1 ( Reason: u ( E )  u (E )  1   n  n n 1 n n 2n    ( En )  n 1 Note: If  finite positive measure, then two defs are equiv. Integration w.r.t. signed measure: (X , a), u signed measure f meas. func. onX Def: f integrable w.r.t. u if f integrable w.r.t. u  +  f integrable w.r.t. u u Note:  Ex.2.12.1  Ex.2.7.1  