real-analysis-class26 实变函数论应用数学讲义.pdf

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2018-01-29 发布于浙江
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real-analysis-class26 实变函数论应用数学讲义

實變函數論─應用數學系吳培元老師 Class 26 f n D f n integrable g n integrable (Ex.2.10.13) MCT gndu  f du  f du  (i) 0 0 / f n  Check: gn D   a Check: E gndu  (E ) E Let E x E : gn (x) f (x) 1 1 E2 x E : gn (x) f2 (x)\ E1  En x E : gn (x) fn (x)\ (E1 ... En -1) n Then E E E disjoint   j j j 1 n n n g du f du  E  E LHS  Ej n  Ej j   ( j ) ( ) j 1 j 1 j 1 Similarly,  g du  f du E  a E n E 0 \ (E) f D   0 f du   0  (ii) (i) (ii) f du  0 Let  (E) (E)  f du for E a . Then   0. E 0 Check:  0 1 Consider  u , m 1,2,..., signed measure. m X 1 Let X Am Bm Hahn decomposition of  u . m A 0 m B 0 Let A0 Am , B0 Bm m m m Then, X A0 B0 A0 B0  X B0 Bm Bm  0 m A 1