real-analysis-class28 实变函数论应用数学讲义.pdf

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2018-01-29 发布于浙江
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real-analysis-class28 实变函数论应用数学讲义

實變函數論─應用數學系吳培元老師 Class 28 Sec. 2.14 Fundamental Thm of Calculus on  : (I) Lebesgue integrable on , f a b   Let ( ) x ( ) g x a f t dt   Then g exists a.e. g f a.e. Note: Riemann integrable on , f a b   f conti. for some x 0  (a ,b )   Then g (x0 ) exists g (x0 ) f (x0 ) 1 if x rational  Ex.1.f (x )  not applicable in Riemann, applicable in Lebesgue. 0 if x irrational  1 2 f : g : 1 1 2 2 1 1   g ( ) not exists ( f not conti. at ), but g f a.e. 2 2 (Note: special case of (I)) Lma 1: Lebesgue integrable on , f a b   If x ( ) 0 for all ( , ), then =0 a.e. a f t dt x a b f  Pf: E f 0 interval (open or closed)E  f 0 open E (Reason:E I , I disjoint open intevals E i i i